一道联赛解析几何试题的探究与推广

杭州市教育科研标兵姚翔工作室杭州市交通职业高级中学(310000) 吴江

1.试题与解答

题目(2022 年全国高中数学联合竞赛一试(A1 卷) 第10 题)在平面直角坐标系xOy中,设一条动直线l与抛物线Γ:y2=4x相切,且与双曲线Ω:x2−y2=1 交于左、右两支各一点A、B.求∆AOB的面积的最小值.

评注解法的不同主要体现在两个方面: 一是选择不同的初始变量,通过运算用单变量表示三角形面积,建立目标函数.二是运用不同的方法,求解函数(面积)的最小值.因此,整个解题过程可分为两个部分,即表示面积与求解最值.

1.表示面积

无论是设点(切点坐标)还是设线(斜率、截距),都可以由“相切”这一条件建立关联各变量的等式,从而将其统一变量来表示,进而实现用单变量表示三角形面积,即得到目标函数与变量的对应关系.由“交于左、右两支各一点”这一条件建立关联各变量的不等式组,从而得到变量的取值范围,即目标函数的定义域.

2.求解最值

构造函数和不等式是求解解析几何最值(范围)问题的常用方法.在上述解法中,都应用了换元,其目的是化简形式或构造不等式,以便于进一步转化处理.解法1 和解法2 应用了基本不等式,技巧性较强,解法3 通过转化联系了二次函数模型,需具备敏锐的洞察力,解法4 对目标函数求导的方式思维量小,但运算量大.

该题一共20 分,从评分标准来看,完成用单变量表示面积和求得面积的最小值各占10 分,由此可知,虽然表示面积作为前一部分是总体解题程序中的主体,但是真正的难点却是后一部分求解面积的最小值,体现出该题对基础与能力的“并重”考查.

2.拓展推广

从上述解题过程中不难发现,三角形面积的最小值是由双曲线和抛物线的方程所决定,因此可以得到下述一般性结论:

3.感悟反思

高中数学的解题教学应“重基础,讲方法”,力求基础与能力并进.熟悉基本的题型,掌握常规的解题路径是一件看得见、摸得着的工作,而对于典型问题的难点突破需要讲究方法,如上述解题过程中求面积的最小值,解法1 和解法2 对分母整体换元,解法3 将分式拆分后换元,都有着明确的转化目标,应总结模型的特征,使其有迹可循.另外,对原问题加以推广及探究相关变式是提炼方法,内化巩固的有效途径,教师应引导学生深入思考,追本溯源,在探究中提升能力,落实核心素养的渗透与培养.