力学中的最优值与黄金数的关系研究

1 引言

在美学领域，黄金比例被视为最美的比例。 在线性黄金分割中，摄影构图中的最佳比例是0.618∶0.382，在建筑中存在着边长比为1∶0.618 的黄金矩形，穹顶建筑也存在着黄金分割[1-2]。与黄金比例0.618 相对应的还有黄金角度137.5°，它恰好把圆周分成两条比值为1∶0.618 的半径。 许多植物的生长规律都遵循着黄金角度，如车前草之间的夹角为137.5°，这样排列能更充分地获得光照。 从线性黄金分割到黄金角度，0.618、0.382、1.618 这几个数字常被视为美与最佳的代表，令Φ=0.618，则与0.618 相关的几个 数都可以 用Φ 来表示，Φ2=1-0.618，1/Φ=1.618，这几个数都可被定义为黄金数。

力学中常有最优值问题， 如最优结构形式、 最佳截面比等，而力学问题的最优解往往与形有关。 图解静力学[3]和拓扑优化法作为两种常用的力形分析方法， 在结构优化中发挥很大作用， 而结构优化的结果往往与自然界存在的形态相似[4]。因此可以推测：力学中的最优值与美学中的最优值即黄金数Φ有关。

在力学领域，董天立[5]发现在力学中存在着接近黄金分割率的数值，朱贝贝[6]研究了一类二自由度系统振动的黄金分割率，但该研究仅针对某类特殊的系统进行研究，且与力学最优值无关。 还有学者通过拓扑优化研究了叶脉分布中的黄金分割现象，该现象使得叶脉的力学性能几乎达到最优。 该研究进一步说明， 力学中的最优值与自然界的黄金数之间是存在密切关联的，若能发现两者之间的规律，也许对于工程的设计和优化是个不小的帮助。 本文通过理论推导得到了梁的内力分布、岩石强度、土体内摩擦角与黄金数Φ 的关系，为黄金数应用于工程优化设计打下了基础。

2 黄金数的来源

黄金数来源于数学中的线段划分问题[7]，假设整条线段AB 的长度等于1，划分点C 将线段分割成了长度分别为x 和1-x 的两部分，如图1 所示。

图1 线段划分示意图

展开可得到：

将方程解取倒数，可得到：

满足方程：

式（2）和式（3）被称为黄金方程。 黄金数也常常被发现在几何图形中，例如，在五角星（或正五边形）中就存在许多黄金角度的例子。

如图2 所示，在正五边形ABCDE 中，对角线AC 与BD 和BE 分别交于G，F，则有：

图2 正五边形

且此时， 五角星的每一个顶角都等于36°。 △CAD、△DBE、△ECA、△BDA、△CEB 都是顶角为36°，底角为72°的等腰三角形，在这些三角形中也存在着许多黄金分割，因此36°也被称为黄金角度。

3 黄金方程组及其方程解

黄金数不仅存在于几何领域， 在力学领域里也扮演着有趣的角色。 为了探讨力学中的黄金数，先对式（2）和式（3）两个黄金方程进行分析。 设：

其中，n=1，2，3，4，…，数列an=1，3，4，7，11，18，…，且数列满足an+1=an+an-1。 令方程等于零，当n 取不同的数值时，可得到如表1 所示的黄金方程组及其方程解。

在表1 中发生了有趣的现象， 方程表达式和方程解都与斐波那契数列密切相关。 方程中的数列符合斐波那契数列分布，此时方程解也十分有趣。

表1 黄金方程组及其方程解

设φ（x）=0 的解为：

黄金方程及其方程解与斐波那契数列有着密切的关系，方程的表现形式与力学中的3 种常见荷载所形成的矩的表达式有相似之处，是沟通力学与黄金数的重要桥梁。

4 悬臂梁的反弯点与黄金数

悬臂梁在土木工程中被广泛应用， 作用在梁上的基本荷载一般包括3 种：均布荷载（梁体自重）、集中荷载、集中力偶，且集中荷载和集中力偶往往具备交变荷载的特性。 在复杂荷载作用下，梁内部将产生弯矩，梁截面的设计也往往与弯矩的分布密切相关。 当梁内部产生不同方向的弯矩时，反弯点（弯矩为零的位置）的判断将影响到杆件材料的效率。

梁的弯矩方程与黄金方程有关。 以式（3）为例，设线段总长度为l，则式（2）的表达式由x2+x-1=0 变为：

对于图3 所示悬臂梁，不计梁的自重，则弯矩方程可表达为：

图3 悬臂梁

对比式（7）和式（8）发现，黄金方程的表达式可以适用于梁内部弯矩的表达，由此推测，当弯矩为零时出现反弯点，反弯点的位置可能与黄金数有关。

表2 交变荷载下梁的弯矩方程和反弯点位置

表2 中弯矩方程的表达式与黄金方程表达式十分接近，反弯点位置的变化规律也与黄金方程的方程解变化规律非常相似，反弯点位置不断趋近于零，与实际受力相符。 从表2 中可看出，弯矩方程与黄金方程对应，反弯点位置对应与黄金方程的方程解。 说明力学与黄金数之间存在着微妙的关系，黄金方程可反映常见的梁在一般荷载作用下的弯矩变化， 黄金数则与梁的反弯点的位置有关。

5 应力状态中的黄金数——最优主应力数值问题

材料力学中对于应力状态的确定可以由摩尔圆得出，但在摩尔圆中仅仅考虑了第一和第三主应力的大小， 却忽略了中间主应力的效应。 从20 世纪80 年代以来，许多学者都指出中间主应力σ2的改变（在σ1和σ3都不变的情况下，增加或减小σ2）可以引起岩石的破坏，甚至可能引发地震[8]。中间主应力取何值时岩体强度最大由此成为值得讨论的问题。 在考虑了中间主应力效应的统一强度理论中我们发现， 公式判别条件对3 个主应力之间的关系进行了归纳[9]，当三者之间的关系满足式（9）时，两个统一理论公式都适用，即：

式中，σ1，σ2，σ3分别为该应力点的第一、第二、第三主应力；α 为材料的抗拉强度与抗压强度的比值。

根据式（9）可以得到：

式（10）在空间状态下的应力圆中表示的是小应力圆与大应力圆的直径比，该比值恒小于1。 Bezalel Haimson[10]为了研究中间主应力对岩石强度的影响，采用真三轴试验，保持第三主应力σ3的数值不变，由小到大调整第二主应力σ2的数值，探究第一主应力σ1的大小，得到的试验结果如图4所示。

图4 粉砂岩的真三轴试验结果

从试验结果中发现，曲线都经历了先上升后下降的过程，通过提取各个曲线最高点的位置所对应的3 个主应力的大小，可以发现当满足式（11）所示关系时，岩体强度达到最大值：

黄金数0.618 也在此范围内。 取α/（1+α）=0.618 可得到α=1.618。 上文提到令Φ=0.618，则可得到：

黄金数在材料力学中扮演着有趣的角色。 当材料的拉压强度比α 为黄金数1/Φ 时，中间主应力σ2与σ1和σ3的距离比为Φ∶Φ2，此时材料强度可达到最大值。

6 土体中的黄金数——最优内摩擦角问题

在土力学中， 土体抗剪强度的计算方法图示参见图5，计算公式可用库伦-摩尔公式表示[11]：

图5 库伦- 摩尔应力圆

式中，τf为剪切破裂面上的剪应力，即土的抗剪强度；σtanφ 为摩擦强度，其大小正比于法向压力σ；φ 为土的内摩擦角；c 为土的黏聚力，为法向应力为零时的抗剪强度，即其大小与所受法向应力无关，对于无黏性土，c=0。

由土体的抗剪强度公式表明， 土体内摩擦角的增大对于抗剪强度的提高是有正向作用的。 砂岩是最常见的修筑石材，主要由石英和长石组成， 这两种成分也是组成地壳最常见的成分。在常见的土类里，砂土拥有最大的内摩擦角。由《工程地质手册》[12]中的统计数值取砂土的内摩擦角平均值，可得到平均内摩擦角为约为36°，即上文提到的黄金角度。

根据统一强度理论引入内摩擦角φ 之后， 临界判别条件公式为：

式中，φ 为土体的内摩擦角。

联立式（9）和式（14），可得到内摩擦角与材料拉压强度比之间的关系为：

当土体为砂土时，代入平均内摩擦角36°，可得到sinφ≈0.618，此时：

图5 所示的应力摩尔圆与抗剪强度线围成的△O′ba 中，将φ=36°代 入， 应 力 圆 半 径ab=0.618=Φ 时， 直 线O′b=，三角形斜边O′a=1，三条边之间的关系构成了黄金三角形。

黄金数Φ 在土力学中也扮演着有趣的角色。 当sinφ≈Φ时，材料的拉压强度比α=Φ3，在应力圆与抗剪强度线构成的直角三角形中，三条边的比例为且此时内摩擦角的数值等于36°，是所有常见土体中的最大平均值。

7 结论

除了美学中存在黄金数之外， 力学中也存在黄金分割现象。 力学中的许多最优值都与黄金数Φ=0.618 有关，且黄金数的存在包括了材料力学、土力学、结构力学等多个力学相关领域。

1） 黄金方程x2+x-1=0 与x2-x-1=0 及其方程解与斐波那契数列密切相关。 黄金方程可以表示悬臂梁在常见的3 种荷载下的弯矩变化情况，且方程解反映了梁的反弯点位置，这对于提升构件材料的经济性提供了很大的帮助。

2）当岩石的中间主应力σ2与第一主应力σ1、第三主应力σ3之间的关系满足关系式（σ2-σ3）/（σ1-σ3）=Φ 时，岩体强度取得最大值，此时材料的拉压强度比为黄金数1/Φ。

3）当土体的内摩擦角φ 满足sinφ≈Φ 时，内摩擦角的数值等于36°，是多种常见土体中的最大平均值，此时材料的拉压强度比α=Φ3，且在应力圆与抗剪强度线构成的直角三角形中，3 条边的比例为。