基于Geogebra的中职数学核心素养培养的实践与思考

潘桂英

摘   要：Geogebra是一款数字工具，可应用于绘图计算、几何绘图、白板协作等， Geogebra辅助数学教学在数学运算、数学直观想象、数学逻辑推理、数学抽象等四个维度的素养培养上发挥着其他数学软件不可替代的作用.

关键词：Geogebra；核心素养；数学教学

2020年2月，教育部发布了《中等职业学校数学课程标准》[ 1 ]，这是贯彻落实《国家职业教育改革实施方案》，进一步完善我国职业教育国家教学标准体系的重要举措.同时，也是指导中职学校教学改革，提高人才培养质量的重要依据[ 2 ].《标准》指出，数学课程不但是学生专业课程学习的基础，它还具有促进专业发展、应用等特点，是我国职业教育国家教学标准体系的组成部分[ 3 ].

随着现代教育技术的不断发展，Geogebra的运用也在课堂教学中不断增加，可以动态演示不能反映生成性的畫图过程，比传统的教具更能培养和提高学生的数学学科核心素养.下面根据具体的教学项目，谈谈如何用Geogebra来辅助培养和提高学生数学核心素养的中职数学课堂教学.

1  认识Geogebra 软件

Geogebra数学软件在代数的各种运算、图形的动态呈现、数据的随机模拟等方面有着突出的优势，将几何、代数、表格、图形、统计、微积分等多种功能进行了深度融合.Geogebra不仅有电脑版也有平板版，还有在线版和安卓手机版，可不用下载软件不用安装软件直接在线使用，其中电脑版有经典5和经典6两个版本，普通的电脑适合于用经典5，触屏电脑适合于用经典6，其界面大体相似.软件运行后，其基本工作界面包括标题栏、菜单栏、工具栏、指令拦、侧边栏，编辑区主要包括代数区、绘图区、3D绘图区和表格区等.操作与几何画板大体相似，但功能更强大，动态效果更好.Geogebra可以将几何、代数、表格、数据、统计、微积分等结合起来，共同诠释奇妙的世界.

Geogebra是一个基于解析几何，基于Java编程语言，极具动态和精准的作图程序，它在Java虚拟机环境下执行命令.多种操作系统如Windows，Mac和FreeBSD等等，都可以完美地执行基于Geogebra的动态课件.Geogebra可以在不同的执行平台上自由、无障碍的执行，如微软、MozillaFirefox等不同的网络浏览器.

概括起来Geogebra主要有以下几个特点：（1）代数、几何和表格等动态结合；（2）操作界面更加的简单，操作上来说也更容易上手，而且其功能强大；（3）可以使用多语言开展跨平台运用，是一项较为自由的开源软件.如图1.

2  Geogebra在数学教学中培育核心素养方面的应用

2.1  培育数学运算素养方面

数学运算是根据数学运算公式和法则，在明确运算对象的前提下，对特定对象进行变形的推演过程.运算是一切行为的基础，是保证行为准确性的重要依据.数学运算主要包含以下几个方面，一是对运算对象的识别；二是对运算规律的理解；三是对运算程序掌握；四是对运算思路的探究；五是对运算方法的选择；六是对运算程序的设计；七是对运算结果的求得等多方面[ 4 ].

Geogebra的计算方法简单，能提供对应的计算结果，如代数式、方程、不等式、向量、概率统计等，只需在计算区域输入对象即可，软件能主动提示是否建立滑动条、设定取值范围、精确小数尾数等有关属性设置.默认情况下，运算区会放在绘图区的旁边，它允许使用Geogebra's CAS进行数学符号运算，运算区有许多储存格组成.充分发挥GeoGebra的便捷性和强大的运算功能，为学生提供自主探究的平台.培养学生认真细致的态度和勤于反思的品质.

《课程标准》中对数学运算素养的要求包含两个层次：分别为单个不同情境中的质量描述和熟悉的相关情景中的质量描述，为我们透彻理解教材内容，合理应用教学设计，准确理解学生层次提供了有力支撑.

中职教材中的四个“二次”问题，中职学生特别容易搞混，特别是二次三项式、一元二次方程、一元二次不等式、二次函数等等概念，他们更是难以清晰地理解.至于这几者之间有怎样的联系和区别，怎样去解决这些问题等等，学生都一脸懵逼.不但无解题思路且几乎无计算能力，利用Geogebra的运算功能可以快速地解决这些问题，且对四个“二次”的关系呈现得一目了然.

例如：对于二次三项式x2+3x-4，二次方程x2+3x-4=0，一元二次不等式x2+3x-4＞0，二次函数y=x2+3x-4的四个“二次”问题.

在Geogebra运算区输入“x2+3x-4”，单击“因式分解”工具图标时可得“（x+4）（x-1）”，单击“精确解”工具图标时精确解x=-4，x=1，在输入框中输入“解集（x2+3x-4=0）”再按回车键，可得呈现形式不同的解集.

在Geogebra运算区输入“x2+3x-4>0”，点击“精确解”工具图标，即可弹出我们所要求的一元二次不等式x2+3x-4>0的解集x│x＜-4，x＞1.

在输入框中输入“x2+3x-4”，按回车键后，在代数区可得二次函数的解析式f（x）=x2+3x-4，同时在绘图区可得相应的函数图像.如图2.

2.2  培育数学直观想象素养方面

直观想象是借助数形结合思想，发挥空间想象能力，通过具有代表性的几何图形及其位置变化关系，来感知事物的形态和变化，从而使一些复杂的、难于理解的问题得到解决的过程.其主要内容有：理解并掌握事物位置上的关系、形态上的变化、空间上的运动规律等.直观想象是探究问题的主要依据，是进行一切高阶思维的基础和保证.它不但能够进行数学推理，形成数学问题的解题思路，还能够开展抽象的数学模型构建.这样，通过直观感知和想象以及对事物特性、关系的分析，初步建立起以图像为基础，分析和解决事物形状、位置的空间问题的想象能力.

《课程标准》将直观想象素养分为熟悉单一情境和熟悉关联情境两个方面各5个层次进行学业质量描述，为我们备考教材和备考学生提供了良好的依据.通过技术优势突出的Geogebra软件，可以很容易的达到这些要求.从直观上降低了学习的困难，增强了学生学习的信心，培养了直观想象素养.

如在教学中职数学基础模块下册第七章“简单几何体”第三节“简单几何体的三视图”中，可以很好地利用Geogebra软件动态地呈现图像变化过程的特点，制作精美的3 D Geogebra课件，从而降低理解难度，促进消化吸收.在Geogebra主界面的视图菜单下打开3 D绘图区，就可以进行3 D课件的制作了，如下图是一个通过3 D绘图制作的有关简单几何体三视图的课件，把需要呈现的信息通过按钮来实现，只需拖动视图区域就能观察不同角度的立体图形.如下图，正三棱柱的主视图、左视图、俯视、复位等画面通过点击“主视图”、“左视图”、“俯视”、“复位”等按钮进行动态呈现，很好地提高了学生的直观想象素养.如图3所示.

2.3  培育数学逻辑推理素养方面

逻辑推理是指从推理规律中得到其它观点的过程.它从特定的事实入手，从命题出发，以得到数学结论为归宿.它有两种类型：一种是由特定到普通的推理，以归纳、类比为主要体现；另一种是由普通到特殊的推理，以推演为主要体现.作为建立数学体系核心的逻辑推理，能够有效保证数学活动的实现，促进学生理性思维的发展.通过较为系统的中职数学课程学习和训练，能够使学生掌握基本的逻辑推理方法，进而感受到事务与事务之间的根本联系，形成高阶的思维能力.做到条理清晰、表达流畅、行云流水、一气呵成.在逻辑推理中养成敢于质疑、严谨求实、善于思考的品格.

中职数学教材中所涉及的逻辑推理内容较为常见，其中以函数的应用最为广泛，其广泛应用于幂函数、指数函数、三角函数等基本初等函数中.在三角函数一章节的教学中，学生对三角函数图像的形成过程认识不充分，对性质的探索过程理解不深刻，会出现以假乱真、以偏概全的现象.在教学中，使学生了解三角函数的形成过程的内在关联与逻辑关系，从而更好地掌握三角函数的知识显得尤为重要.利用Geogebra软件可以使学生体验到逻辑推理的过程，从而为学生提供可靠的猜想、推理、检验方法，从而有效地了解三角函数的有关问题.

如在教学中职数学基础模块上册第四章“三角函数”的图像变换时，运用Geogebra软件动态地呈现三角函数的可视化作图过程.通过拉动滑动条改变A、ω、φ和b的值，从而控制函数图像变化，其中A的值决定函数的振幅，ω的值决定函数的周期，φ的值决定函数的左右平移，b的值决定函数的上下平移等.从而总结出函数y=sin（ωx+φ）+b的伸缩和平移变换特征，如图4.

2.4  培育数学抽象素养方面

数学抽象是一种思维过程，它抛弃事物的物理特性，将事物的特征、规律、性质等抽象出来，提取出事物研究对象的本质特征，从而形成新的数学概念和新的数学结论，并用规范而精确的数学语言加以表述的过程.数学抽象具有高度概括、表达准确、分层递进的基本特点，在形成和发展理性思维中的作用不可替代，更不可超越.它贯穿于数学的产生阶段、发展阶段和应用阶段，是数学基本思想和基本方法的科学体系的重要组成部分.

《课程标准》认为，数学抽象融入到数学的产生、发展与应用中，是数学的基础，是学生树立理性思维的重要依据[ 5 ].函数是培育学生数学抽象核心素养的一个重要载体，是刻画变量与变量间关系和规律的基础工具.中职的函数概念相比初中的函数概念高大上了许多，也复杂了许多，包含了定义域、值域、对应法则、非空数集等全新的概念，后期讲到函数的性质又加了单调性、奇偶性、最值等.学生理解普遍有困难.大部分学生只能机械地记忆.为了让学生学懂弄通，老师也只能加强概念的辨析和题型的训练.这样完全忽略了学生认知的思维抽象过程，忽略了核心素养的培养.

利用Geogebra软件，可以弥补这一缺点，如在教学中职数学基础模块下册第五章“指标函数与对数函数”第二节“指数函数”中动态地呈现指数函数.通过拉动滑动条a和b改变函数f（x）=ax和g（x）=bx的底数，从而得到不同底数的指数函数图像，其中a的取值范围是（1，5），b的取值范围是（0，1），通过观察函数f（x）=ax的图像变化，得到当a＞1时，函数图像位于x轴上方，且单调递增；通过观察函数g（x）=bx的图像变化，得到当0＜b＜1时，函数图像位于x轴上方，且单调递减.如图5.

Geogebra广泛应用于中职数学及其他学科教学，不仅降低了学习难度，而且增强了学生学习兴趣，提升了学习效率.借助軟件的动态演示及其他强大的功能，教师可以直观地呈现知识的生成过程，扭转传统教学中仅注重结果不注重过程的局面.通过软件的动态生成和即时操作功能，为学生对教学活动的深入参与提供了一种实验探索的平台，很好地提升了学生的数学核心素养.

Geogebra功能之强大，使得如何在中职数学教学中应用Geogebra，值得老师们去深度挖掘.这一任务任重道远.

参考文献：

［1］ 李燕华.培育数学核心素养的方法与途径[J].初中生世界：初中教学研究，2016（40）：44-45.

［2］ 贺瑜.中职数学趣味教学研究.[D].重庆：西南大学，2020.

［3］ 秦静，毕渔民.引领中职数学学科发展的课程标准研究--《中等职业学校数学课程》解读[J]，中国职业技术教育，2020（20）：6-9.

［4］ 张岚.基于数学核心素养的解析几何教学——谈数学运算能力的提升[J].中学教研：数学版，2017（5）：4.

［5］ 褚焌雅.中职学生数学抽象素养的现状调查及培养策略研究[D].重庆：西南大学，2020.