一道解析几何试题的溯源及推广

陈伟流　苏倩倩

高考命题坚持“以核心价值为引领”，“以学科素养为导向”，“以关键能力为重点”，“以必备知识为基础”四大原则为理念，以“四翼”为考查要求解决了数学怎么考的问题，这就要求一线课堂中要充分发挥教师的主导性和学生的主动能动性，以培养学生良好的思维模式及解题习惯，促进有意义的学习；本文以2023届T8联考试题为例，浅谈对学生解题，对课堂教学提质增效的些许思考与尝试.

1 试题呈现

已知抛物线C：y2=2px（p>0）的准线与x轴的交点为H，直线过抛物线C的焦点F且与交于两点A，B，ΔHAB的面积的最小值为4.（1）求抛物线C的方程；（2）若过点Q（17/4，1）的动直线l交C于两点M，N，试问抛物线C上是否存在定点E，使得对任意的直线l，都有EM⊥EN，若存在，求出点E的坐标；若不存在，则说明理由.

2 试题分析

2.1 内容分析

本题以抛物线为情景，有机融合了解析几何中常见的面积最值，直线过定点，斜率和（积）定值为等热门题型，知识覆盖面广，难度系数较大，渗透了数形结合，函数与方程，转化与化归，分类讨论等数学思想和数学运算，逻辑推理，数学建模，数学抽象等核心素养的考查，充分体现了高考评价体系中“以核心价值为统领”、“以学科素养为导向的”命题理念，体现三新背景下高考的新时代特点，有效呼应了高考试题的教育、评价和导向功能.

2.2 溯源分析

在试题背景的挖掘上，本题可追溯到2019人教A版选择性必修第一册习题3.3的第6题；人教B版选择性必修第一册习题2-8B第2题，03复习题第16题，第25题以及2020年山东高考第22题，归属于解析几何中“弦张直角过定点”的类型，始终围绕着曲线上的定点，弦过定点，两垂直弦这三要素为条件或结论进行有序排列命题，可进一步深度推广为更一般的手电筒模型［1］，具备极大的研究价值.

3 解法分析：通法通解引领，明确运算方向

评注：对于双曲线的相关结论，只需将椭圆结论中的b2替換为－b2即可；同时对于定点E在圆锥曲线内或外，以及三种圆锥曲线进一步更统一的结论及其证明，详细见文献［3］，不再赘述.

参考文献

［1］ 董荣森，李萍.构造“二次”是关键 寻找“关系”是根本——类似“手电筒”模型中有关直线恒过定点问题［J］.中学数学杂志，2021（09）：37-40.

［2］ 彭海燕，李维.突出图形探究 强化代数推理——2022年高考“平面解析几何”专题解题分析［J］.中国数学教育，2022（Z4）：78-85.

［3］ 李世臣，陆楷章.圆锥曲线对定点张直角弦问题再研究［J］.数学通报，2016，55（03）：60-62+66.

广东省惠州市教育科学研究项目《数学核心素养下提升高中生问题解决能力的教学策略研究》（课题编号：2021hzkt192）