2023年高考数学北京卷平面解析几何解答题的多解探究

甘志国(正高级教师 特级教师)

(北京市丰台区第二中学)

2023年高考数学北京卷第19题是一道平面解析几何解答题,本文给出了四种常规解法,揭示了其背景是帕斯卡定理,还给出了该题结论的一般情形.

注本题第(2)问对应的图形(图1)较复杂:涉及一个椭圆、四个定点A,B,C,D及三个动点P,M,N,两条定直线BC,y＝－2及两条动直线AP,PD.

本题第(2)问的运算量也较大:除了要求出四个定点A,B,C,D及三个动点P,M,N的坐标,一条定直线BC及两条动直线AP,PD的方程,动直线MN的斜率,还要证明两条直线CD,MN不重合,而且这里的运算多是含两个参数的复杂运算(比如繁分式的化简).

这道高考题第(2)问的背景是帕斯卡定理“二次曲线内接六边形(包括退化的情形)的三组对边的交点共线”.

如图1 所示,椭圆E的退化内接六边形ABCCDP的三组对边AB与CD,BC与DP,CC(即直线y＝－2)与AP的交点为无穷远点,M,N,这三点共线,即AB∥CD∥MN.

由此,还可给出该题的一般情形的结论:

由帕斯卡定理,可编拟出很多类似于2023 年北京卷第19题的题目,本文不再赘述.

(完)