为何错解如此流行

田富德

不等式恒成立问题一直是高考、各类省市质检的热点.解决此类问题，最终均转化函数的最值问题，而函数导数是求解函数最值的重要方法.为了增加试题灵活性和简洁性，ex与lnx备受命题者的青睐.近几年，ex与lnx同时出现的题也如雨后春笋，直接构造函数求解往往比较复杂甚至不可解，利用同构策略结合函数的单调性大大减少了运算量，这也让广大师生把同构研究得更透彻.

1 同构思想的含义

导数问题中经常出现含参等式或不等式，很大一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型，无疑大大加快解决问题的速度．即通过变形，使式子左右两边结构形式完全相同，找到不等式两边对应的同一函数模型，这就是同构法．例如：若F（x）≥0能等价变形为fg（x）≥fh（x），然后利用f（x）的单调性，如递增，则转化为g（x）≥h（x），简化式子，事半功倍．同构思想的本质是借助于函数的单调性性质对条件进行等价变换.

在例7中，满足了变量起点处x=0时，内层变量相等，即“2x=x”，但利用错误性质仍不能得到正确结果.对比例7与前述例题，重大区别是，在参数变化中，例7的函数可能有3个单调区间，而例1至例6的函数均至多两个单调区间，尽管有的函数求导复杂，但单调区间并不多.在例1至例5中，恒成立区间起点处内层变量相等保证了在起点处附近函数只能单调递增，这样排除了先减后增的情况，先增后减又显然违备条件，因此在同构时，内层函数至多两个单调区间且区间起点处内层变量相等，错解可以得到正确的结果.但当内层函数可能3个或更多个区间时，错解就几乎不可能得到正确的结果了.

解题研究是中学数学一线教师及教研人员必做的功课，只能深刻理解试题背景蕴含的本质，才能站在至高点上引导学生解题，函数题海博大精深，本文旨在抛砖引玉，让更多的老师把此类问题研究的更加透徹，相互学习.