数学课堂中“链＋”设例的实践与思考

摘 要：“链+”设例是指设置问题情境关联、思路探索延续、解答过程兼容、难度差异明显的分层例题。“链+”设例在数学课堂中应用的一般步骤包括：确定例题教学的分层知识链，根据教学内容选择母题，基于母题“链+”设例，运用“设例”展开教学。“链+”设例需要注意：不可偏离课时核心知识，应该强调例题的内在关联，应该重视教学过程的设计。

关键词：初中数学；例题设计；解题教学；“链+”设例；圆周角

本文系江苏省中小学教学研究第十四期立项课题“初中数学‘链+课堂的实践研究”（编号：2021JY14-L398）、江苏省教育家型教师创新培养计划项目“‘双减背景下初中数学教学提质增效的实践研究”的阶段性研究成果。

数学课堂中，分层设计例题为学生拾级而上地学习和为不同能级的学生追求个性化发展提供了可能。关于分层设例及其教学应用，笔者曾多次撰文介绍。［1-3］本文在已有研究成果的基础上，介绍一种有效的分层设例策略——“链+”设例，供大家参考。

一、 “链+”设例的含义

“链+”是笔者提出的概念，用来表示这样一种教学理念（主张）：基于内容关联，从一个基本点出发进行延伸与变化，从而构建结构化、序列性的教学资源（学习材料）。［4］“链+”设例是指设置问题情境关联、思路探索延续、解答过程兼容、难度差异明显的分层例题。“链+”设例是分层设例的一种，呈现的也是分层例题。但是，相较于只关注难度差异的分层设例，“链+”设例更加注重例题之间的内在关联，注重情境的统一、思维的延续、过程的兼容等。笔者主要从知识点的个数、情境“包装”的复杂程度、思考“破解”的角度以及认知能力的要求等方面形成例题的层级差异。

例如，笔者为人教版初中数学九年级上册“21.2.1 配方法”第2课时设计的三道用配方法解一元二次方程的例题如下：（A） x2-4x＝7；（B） x2-4x-7＝0；（C） 12x2＝2x+72。这三道例题的求解过程大致可用图1所示的流程图表示。

这三道例题的主要特征如下：

问题情境关联。三道例题均直接以方程的形式呈现，外形上略有差异：A级例题是可以直接配方的一元二次方程；B级例题是一元二次方程的一般形式，是将A级例题的常数项移到方程的左边得到的；C级例题是将B级例题的一次项移和常数项都移到方程的右边，同时两边除以2得到的。显然，一旦理清了这些方程外形上的异同，其情境上的关联便一目了然了：目标为解方程时，都可通过适当变形统一为A级例题的形式。

思路探索延续。运用配方法解这三个方程，其核心步骤都是“配方→‘定型→求解→检验”。无论选择解答哪道例题，学生都会按照这样的思路进行探索。其中，解答B级例题需要在上述核心步骤上“链+”移项，而解答C级例题则需要进一步“链+”整理（化二次项系数为1）。学生沿着A级例题的解题思路逐步展开探索，将会通过“链+”最终可以解答C级例题。

解答过程兼容。A级例题的求解过程是后面两道例题求解过程的一部分；B级例题的求解过程囊括了A级例题的求解过程，同时又是C级例题求解过程的一部分……

难度差异明显。三道例题中，A级例题最容易；B级例题的解答需要“跳一跳”，方可“摘到桃”；C级例题的难度最大，需要“站在板凳上”再“跳一跳”，才能“摘到桃”。B级、C级例题的难度主要体现在向A级例题的转化上。

教学时，笔者鼓励学生挑选能力所及的例题解答与交流，能选C级例题的不选A级、B级例题，希冀以此达成两方面的目标：一是引导学生确认能力，培养数学学习的信心；二是激发学生的探索欲望，形成能力上的突破，获得最大化的发展。

二、 “链+”设例在数学课堂中的应用

下面以人教版初中数学九年级上册“24.1.4 圆周角”第1课时为例，谈谈“链+”设例在数学课堂中应用的一般步骤。

（一） 确定例题教学的分层知识链

我们应该基于课标、教材和学情来确定例题教学的分层知识链，确保“链+”设例的“正方向”。根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》给出的与圆周角相关的内容要求，“24.1.4 圆周角”第1课时的核心知识主要有“同弧（或等弧）所对的圆周角相等”，“直径所对的圆周角是直角”等。笔者对上述核心知识做了适度“链+”，形成例题教学的分层知识链，具体见表1。

（二） 根据教学内容选择母题

所谓“母题”，是指包含学生所要巩固的学习内容、具有可塑性的题目。母题是“链+”设例的起点，一道好的母题可以改编形成多道难度不一的题目。母题可以是教材中的例题、练习，也可以是中考题或段考题，还可以是原创题。选择母题既要考虑与学生所学内容相关，还要考虑题目的可变性。

为了帮助学生巩固核心知識，笔者选择教材中的例4作为母题进行“链+”设计。为了便于下面的陈述，这里先呈现该题并做简要分析。

如图2，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BC、AD、BD的长。

解答本题需要用到圆周角定理的推论、勾股定理、等腰直角三角形等知识。由于题中给出了很多条件，可以生成许多结论。比如，由AB是直径，可以推出∠ACB＝∠ADB＝90°，在得到Rt△ACB和Rt△ADB的同时，还可进一步得到∠CAD+∠CBD＝180°，这实际上就是后面要学习的“圆的内接四边形的对角互补”；由∠ACB的平分线交⊙O于点D，可以得到∠ACD＝∠BCD，进一步发现这两个角都是45°，再结合“同弧或等弧所对的圆周角相等”，可以得出∠ABD＝∠BAD＝∠ACD＝∠BCD＝45°，AD＝BD，AD＝BD，即△ADB是等腰直角三角形；如果再用上题中的线段长，就可以求出图中所有线段的长。

（三） 基于母题“链+”设例

1. 降低解题要求，形成A级例题

“链+”设例，要保证课时核心知识全覆盖。就算是难度最低的A级例题，也不能出现课时核心知识的疏漏。在保证上述要求的情况下，可以通过降低解题要求的方式来实现母题难度的降级，形成A级例题。

在对上述母题进行“链+”设计时，为了保证覆盖“直径所对的圆周角是直角”这一核心知识，笔者将题中的“求BC、AD、BD的长”变为“求BC的长”；为了避免原题中核心知识的遗漏和“条件无用”，笔者增加了“求∠ABD的度数”。如此编排，通过两个难度不大的求解目标形成A级例题，让那些学习能力不强、基础薄弱的学生能够顺利解答并展开交流。

2. 减少中间台阶，形成B级例题

B级例题难度中等。如果母题难度中等的话，可把母题直接作为B级例题。除了考虑难度之外，B级例题的确定还要考虑其是否为A级例题的进一步发展，其求解过程能否兼容A级例题的求解过程。

上述母题中，求BC的长难度不大，求AD的长与求BD的长方法一样，基础都是得到△ADB是等腰直角三角形（相当于A级例题中求得∠ABD＝45°）。因此，在设计B级例题时，笔者抽掉“求BC、AD的长”，将解题目标确定为“求BD的长”。其解答过程与上述母题相同，不仅涵盖了A级例题的求解过程，而且比上述母题提升了不少难度。

3. 重设解题目标，设计C级例题

为了保证对A、B、C三级例题的解答，学生在小组、班级交流时有共同的话题，在确保知识点全覆盖的情况下，“链+”设例还要尽可能做到为三级例题的交流创设共同的语境，在情境和问题两者中保持一个稳定。比如，可创设一致的情境，即不改动题干，通过重设解题目标，来形成难度最大的C级例题。一般情况下，C级例题可以由B级例题解题目标进一步发展得到。

根据上述母题设计C级例题时，笔者保持题干不变，将解题目标定为：求CD的长。此题颇有难度：容易发现，要求的CD在三角形△ACD和△BCD中，△ACD和△BCD中除了CD之外的边和角（或其某个三角函数）都是已知（可求）的，但是学生缺少三角函数和解三角形的知识（没有学过三角恒等变换和正弦定理、余弦定理），在这两个三角形中解不出CD的长。因此，需要构造新的以CD为一条边的三角形，具体可以由△ADB是等腰直角三角形，想到AD和BD之间的旋转变换关系，考虑将△ACD绕点D顺时针旋转90°（或将△BCD绕点D逆时针旋转90°），到四边形ADBC外面。也就是，作DE⊥CD，交CB的延长线于E（或作DF⊥CD，交CA的延长线于F），如图3。由此易得∠CAD+∠CBD＝∠CBD+∠DBE＝180°，所以∠DBE＝∠CAD；又∠BDE＝∠ADC，BD＝AD，可得△BDE≌△ADC，则BE＝AC＝6，DE=CD；在Rt△ACB中用勾股定理求出BC＝8后，就可以在等腰直角三角形CDE中用勾股定理求出CD=72了。显然，这里求CD的过程把A、B两级例题的求解过程都囊括进来了。

（四） 运用设例展开教学

课堂教学中，教师出示“链+”例题后，一般要带领学生经历自主探索、小组交流、全班交流的过程。在这个过程中，“链+”例题能让学生的学习活动自然分层（适合自己）、相互关联（获得发展），让每一名学生都竭尽全力开动脑筋，使出浑身解数，努力向别人展示自己最便捷的探索过程和最完美的解题过程。

教学“24.1.4 圆周角”第1课时，学生学完圆周角定理及其推论之后，笔者投影展示“链+”例题：“如图2，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D。（A） 求BC的长和∠ABD的度数；（B） 求BD的长；（C） 求CD的长。”让学生自主选择能够解答的最难例题，读题标注，探索思路，并尝试给出解题过程。学生自主审题，预估难度，选择最适合自己的例题；再综合运用所学知识，努力给出所选例题的求解过程。

8分钟后，自主探索结束，笔者让学生在小组中交流，分享自己探索思路的过程、解题的过程和结果以及关注的解题要点。三级例题的共性部分自然会出现在学生的对话中。

3分鐘后，小组交流结束，笔者组织全班交流。首先，一名解答A级例题的学生与大家交流了自己的求解过程。接着，一名解答B级例题的学生在上述过程的基础上，就“如何求BD的长”与大家展开进一步交流，呈现求得BD＝52的详细过程。在解答C级题的学生与大家交流时，笔者安排解答A级例题的学生和未能完成B级例题的学生继续探索B级例题或自主订正B级例题。通过师生互动交流，解答C级例题的学生很快发现，构造具有公共顶点的“手拉手”双全等三角形（如图3所示，△BDE≌△ADC，△ADF≌△BDC），是求得CD＝72的有效方法。笔者进一步追问：解决C级例题用到了哪些知识？是如何形成这一解题思路的？进而，把全等三角形中的基本图形和新学的知识链接在一起，形成知识网络。随即，解答B级例题的学生和未能完成C级例题的学生继续探索C级例题或自主订正C级例题。在整个交流的过程中，学生的活动因为解答的情况出现了差异：有人在讲，有人在听；有人在再探索，有人在订正。

4分钟后，笔者再次带领全班梳理解答本题用到的课时核心知识，进行全课小结。

三、 关于“链+”设例的几点注意

（一） “链+”设例不可偏离课时核心知识

“链+”设例之所以能进入课堂，主要在于调动学生参与学习的积极性、提升学生获得发展的可能性等方面。而这些归根到底源自每节课的学习目标。学生在前面的学习中获得了不少新的知识与技能，自然希望在应用中大展身手。所以，“链+”设例绝不可偏离课时目标，而应该围绕课时核心知识定向“链+”。要特别留意的是，设计的A、B、C三级例题是否因为知识点的增删，导致探索主题与课时目标产生偏差、教学重心发生偏移、在无关知识的应用上耗费太多的时间，而将课时核心知识弱化。上述案例中的A、B、C三级例题无论是解答还是交流，始终围绕圆周角定理及其推论展开，这正是本节课的核心内容。A、B、C三级例题的自主探索和不同形式的交流，对学生理清本节课的核心知识是十分有利的。所以，无论是什么样的课，无论是什么内容的教学，一旦目标确定，我们就应沿着目标指引的方向设计层级清晰的“链+”例题，以此带领学生每课进步一点点。

（二）“ 链+”设例應该强调例题的内在关联

一般情况下，“链+”设例呈现的三级例题在题干或问题上存在密切的联系，而这些内在的联系点恰恰是教学过程中探索与交流的主要话题。试想一下，如果“一题一世界”，一节课能不能容下三道例题的探索与交流真的很难说。所以，“链+”设例时，笔者常在题干或问题两者中固定一个，变动另一个，使得例题在变化中有着不变，形成“同情境，异目标”或“异情境，同目标”的分级例题，为交流提供“同一方向”。本文所举的例题属于“同情境，异目标”类例题，题组在同一个题干下生长出多个不同层级的解题目标，而这些目标之间又有着明显的包含关系，如C级例题解答过程包含B级例题解答过程，B级例题解答过程包含A级例题解答过程，如图4。当然，有时也可以形成如图5所示的设例关系。要注意的是，无论是哪一种形式的改编，其解答过程中的关联点（图4、图5中的阴影部分）都将是课时教学的重点，也是交流对话要关注的重点。因此，我们应该留意，关联点的设计是“链+”设例的核心所在。

（三） “链+”设例应该重视教学过程的设计

“链+”设例不仅要重视例题的设计，而且要重视例题教学过程的设计。要充分体现学生在教学活动中角色的准确定位。“有效的教学活动是学生学和教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者、合作者。”［5］例题是用来解的，不是用来看的，更不是用来“炫富”（展示教师和优生的思路与过程）的。没有学生自主经历的例题解答与交流历程是虚假无效的。这也不是我们所追求的“人人平等”的公平教学。“链+”设例所追求的是既让学生体会到解题不语的“痛苦”，又让学生享受到顺利得解的愉悦。自主解答需要解题不语，而交流分享需要过程体验。只有在丰富的过程历练后，学生才能发表自己的见解，分享自己的经验和教训。教材例题一般只有一个层次的题目，根据课时安排即可。而“链+”设例所呈现的是三级例题，在不同的教学时点上，给学生的难度估判是不一样的。放在今天做恰到好处的题组，放到明天说不定连C级例题都不难了。所以在“链+”设例中，应该同时考虑到“学生什么时候解答”“什么时候，在什么范围内交流”“交流什么”“怎样交流”“教师在学生解答与交流的过程中起到什么作用”“如何发挥这些作用”等问题，摒弃例题解答和交流的“三替代”（教师替代、优生替代、软件替代），努力创设让每一名学生都真正解起来、说起来、动起来的教学过程，让人人能参与且有收获。

总之，“链+”设例基于分层的知识链，以分层例题为抓手，用分层解答与分享交流推动学生分层发展，在帮助学生获取“四基”、发展“四能”的同时，助力学生形成正确的情感态度和价值观，获得核心素养的发展。设计几道例题不难，但要像本文所示的“链+”设例那样，使呈现的例题有着紧密的内在联系，从外形到内核、从探索到交流都有逻辑关联，那就着实不易了。为此，作为有效的尝试，“链+”设例一直在路上。笔者一直孜孜以求，期待各位同行专家的指点。

参考文献：

［1］ 印冬建.紧扣主线 分层设例——“不等式与不等式组”复习课例题设计与教学感悟［J］.中学数学教学参考，2013（20）：24-25.

［2］ 印冬建.分层设例：有益，高效［J］.中学数学，2012（18）：11-13.

［3］ 印冬建.分层设例：一根主线，三级例题——以“一元二次方程的根与系数的关系”为例［J］.中学数学，2014（18）：4-6.

［4］ 印睿妍，印冬建.平面几何教学应重视基本图形的“链+”［J］.教育研究与评论（中学教育教学），2023（2）：66-67.

［5］ 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2022：3.