抓住数式通性学透二次根式

2023-08-18 19:05浦叙德
初中生世界·八年级 2023年8期
关键词:通性根式平方根

浦叙德

二次根式属于初中“数与代数”板块中“式”的研究范畴,是在学习了整式与分式等有理式基础上对“式”的继续研究。在学习本章内容的过程中,我们已经具备了“数”学习和“有理式”学习的经验。因此,借助这些数学现实,抓住数式通性,我们就可以学透这章的内容。

一、了解二次根式的知识来源

关于“式”的研究,始于苏科版数学教材七(上)第3章“代数式”。在介绍了“字母代替数”形成代数式之后,我们分别学习了单项式与多项式,其中单项式与多项式统称为整式。我们八(下)学习了分式,把整式与分式统称为有理式。二次根式是一类新的代数式,今后我们会知道,这类代数式属于无理式中的一种。初中阶段我们主要学习的代数式就是有理式与无理式(二次根式)。由上面的知识发展路径,就可以得到二次根式的知识来源图(如图1)。

二、理解数式通性的主要体现

“数”与“式”是初中代数中的两大内容,我们是以交叉螺旋上升的方式学习的。其中,具体的数是特殊的,抽象的式是一般的,用字母表示数,就是从特殊走向一般。在数的学习上,我们是按照每类数的定义、性质、运算的顺序学习的,先是进行了数系扩充,引进负数概念得到有理数;再把整数与分数统称为有理数,在有理数的基础上学习了无理数,把有理数和无理数统称为实数,初中阶段数的学习就限于实数范围。在数系扩充的同时,我们分别研究了每类数的性质,在此基础上进行各类数的运算。由上面二次根式的知识来源比较,我们可以发现,数与式的发展路径是完全一致的,式的学习也是按照每类式的定义、性质、运算展开的,这是数式通性的外在体现,如图2。

下面,再举一个简单的例子来看内在体现,如“计算3x+2x”这样的整式的加(减),就是合并同类项。合并同类项时,系数相加(减),字母和字母的指数不变,即3x+2x=(3+2)x=5x。我们发现,原来是式的加(减)运算,结果变成了数的加(减)运算。所以,从本质上来讲,所有的式的运算最后都转化成了数的运算,二次根式的运算也是如此。

三、掌握二次根式的核心内容

本章主要研究二次根式的定义、性质、运算三个部分。先说定义,一般地,式子[a](a≥0)叫作二次根式。对式子[a](a≥0),你是不是感觉很熟悉?我们知道,在实数范围内,任何数的平方都是非负数,反之,对一个数进行开方时,负数没有平方根。如果x2=a,那么把±[a]叫作a的平方根,其中[a](a≥0)叫作a的算术平方根。原来,[a](a≥0)从数的角度看是算术平方根,从式的角度看就是二次根式。因此,我们可以从数与式两个不同的视角认识[a](a≥0)。

再说二次根式的性质。既然二次根式[a]也是a的算术平方根,所以,首先有“a≥0和[a]≥0的双重非负性”;其次,由于算术平方根有“[a2]=|a|”及“([a])2=a(a≥0)”两个性质,所以二次根式也具有这两个性质。

最后说一下二次根式的运算,无论是数的运算,还是式的运算,首先我们要明白算法,即要知道怎么算,一般是根据运算法则、运算性质进行;其次要明白算理,即為什么要这样算,是算法的道理性、合理性;最后是形成算能,即在算对的基础上算快和算优,这就是数学运算能力,它是初中生学习数学必须达成的关键能力。二次根式要进行加减乘除乘方运算,由上面的数式通性可知,只要利用每一个运算的法则,就可以转化成对应的数的运算。在运算过程中,同学们一定要抓住“式子的结构”,才能快速提高自己的运算能力。需要特别说明的是,数的运算都是按照“先加减,后乘除,最后乘方、开方”的次序学习,有理式的运算也是如此,但无理式中的二次根式却是按照“先乘除,后加减”的次序学习,这是因为二次根式只有先化成最简二次根式之后,才能进行合并同类二次根式的加减运算,所以,二次根式是先学习乘除法,再学习加减法。

(作者单位:江苏省无锡市新吴区教师发展中心)

猜你喜欢
通性根式平方根
不为浮云遮望眼,更要身在最高层——例说向量中的“一题多解”与“通性通解”
“平方根”学习法升级版
平方根易错点警示
向量问题中的通性通法
帮你学习平方根
如何学好平方根
1.2 整式与二次根式
通性通法驾驭选考题
待定系数法:向量中的通性通法