2022年新高考Ⅱ卷解几题的多解、推广及变式

胡芳举

一、试题呈现

（2022年新高考Ⅱ卷第21题）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的右焦点为F（2，0），渐近线方程为y=±3x.

（1）求C的方程；

（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P（x1，y1），Q（x2，y2）在C上，且x1>x2>0，y1>0.过P且斜率为-3的直线与过Q且斜率为3的直线交于点M，请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立：

①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|=|MB|.

二、一题多证

（1）易得C的方程为x2-y23=1，解略；

（2）选取①③②.

当直线AB的斜率不存在时，显然成立.下面只考虑直线AB的斜率存在的情况.

证法一：（以线参为主）易知直线AB的斜率不为零，故设直线AB方程为x=ty+2，代入双曲线的渐近线方程x2-y23=0得（3t2-1）y2+12ty+12=0.

设线段AB中点M（m，n），则n=yA+yB2=-6t3t2-1，m=tn+2=-23t2-1①.

由题设知直线PM的方程为y=-3（x-m）+n，代入双曲线方程x2-y23=1，解得点P的横坐标xP=1233n+3m+n+3m.

又直线QM的方程为y=3（x-m）+n，同上可得xQ=[JP3]-1233n-3m+n-3m，

∴xP-xQ=n33n2-3m2+1，xP+xQ=m（-3n2-3m2+1）②.[JP]

∴直线PQ的斜率kPQ=yP-yQxP-xQ=＼[-3（xP-m）+n＼]-＼[3（xQ-m）+n＼]xP-xQ=-3（xP+xQ-2m）xP-xQ，将②代入上式化简得kPQ=3mn，又由①知3mn=1t=kAB，∴kPQ=kAB，∴PQ∥AB.

证法二：（以点参为主）设点A（x1，3x1），B（x2，-3x2），则点M（x1+x22，3（x1-x2）2，直线PM的方程为

y-3（x1-x2）2=-3（x-x1+x22），即y=-3x+3x1，与双曲线方程x2-y23=1联立解得点P的坐标xP=x21+12x1，yP=3（x21-1）2x1，同上可得点Q的坐标xQ=x22+12x2，yQ=

3（x22-1）2x2，

∴xP-xQ=[JP3]（x1x2-1）（x1-x2）2x1x2，yP-yQ=3（x1x2-1）（x1+x2）2x1x2，

∴kPQ=yP-yQxP-xQ=3（x1+x2）x1-x2，又kAB=3x1-（-3x2）x1-x2=3（x1+x2）x1-x2，[JP]

∴kPQ=kAB，∴PQ∥AB.

评注：证法一、二虽然思路简单自然，但运算非常复杂，学生一般有始无终.

证法三：（以距离为主参）

设点M（m，n），点P（m+tPcosθ，n+tPsinθ），θ=23π，代入x2-y23=1得3m2-n2-3=2ntPsinθ-6mtPcosθ，将θ换成π-θ得Q（m-tQcosθ，n+tQsinθ），且3m2-n2-3=2ntQsinθ+6mtQcosθ，∴2ntPsinθ-6mtPcosθ=2ntQsinθ+6mtQcosθ，∴n（tP-tQ）sinθ=3m（tP+tQ）cosθ，∴kPQ=tP-tQsinθ（tP+tQ）cosθ=3mn.

设点A（x1，y1），B（x2，y2），则x21-y213=0，x22-y223=0，∴x21-y213=x22-y223，

∴（x1+x2）（x1-x2）=（y1+y2）（y1-y2）3，∴kAB=y1-y2x1-x2=3（x1+x2）y1+y2=3mn，∴kPQ=kAB，∴PQ∥AB.

证法四：（运用曲线系）

设线段AB中点M（m，n），则直线PM、QM的方程分别为y-n=-3（x-m），y-n=3（x-m），∴曲线PM×QM的方程为3（x-m）2-（y-n）2=0，又双曲线的方程为3x2-y2-3=0，两式相减得6mx-2ny=3m2-n2+3，易知该方程表示直线PQ，故kPQ=3mn，又由证法三知kAB=3mn，∴kPQ=kAB，∴PQ∥AB.

评注：证法三、四根据题设已知，灵活运用直线的參数方程、曲线系知识，简化计算，证明过程简洁巧妙，令人回味无穷.

三、试题推广

推广 设A，B两点（异于原点）分别在双曲线x2a2-y2b2=1（a，b>0）的两渐近线上，过线段AB的中点M（点M不在双曲线上），分别作两渐近线的平行线，交双曲线于P，Q两点，则PQ∥AB.

四、两个变式

变式1 如图2，过不在双曲线x2a2-y2b2=1及其渐近线上一点M，分别作两渐近线的平行线，交双曲线及其渐近线于点P、C，Q、D，则PQ∥CD.

证明：设点M（m，n），则直线PM、QM的方程分别为y-n=-ba（x-m），y-n=ba（x-m），∴曲线PM×QM的方程为（x-m）2a2-（y-n）2b2=0.

设双曲线或其渐近线方程为x2a2-y2b2=λ，

两式相减得2mxa2-2nyb2=m2a2-n2b2+λ，易知当λ=1该方程表示直线PQ，当λ=0该方程表示直线CD，∴PQ∥CD.

评注：过点M作直线交双曲线的两渐近线于点A，B，若点M为线段AB的中点，则C，D分别为线段OA，OB的中点，∴CD∥AB，又PQ∥CD，∴AB∥PQ，所以推广成立.

变式2 过不在双曲线x2a2-y2b2=1及其渐近线上一点M，分别作两渐近线的平行线，交双曲线于点P、Q，设N为线段PQ的中点，则O，M，N三点共线（其中O为坐标原点）.

证明：设点R为线段CD的中点，由变式1易知R，M，N共线，又OCMD为平行四边形，所以O，R，M共线，故O，M，N三点共线.