立足本手 巧构妙手 释疑俗手

安恺凯　沈丹丹

2022年语文新高考Ⅰ卷以围棋的三个术语“本手、妙手、俗手”为作文题目，其中本手是指合乎棋理的正规下法；妙手是指出人意料的精妙下法；俗手是指貌似合理，而从全局看通常会受损的下法.笔者由此想到，在数学的解题教学过程中，不也会经常遇到的正规解法、精妙解法、以及貌似合理却错误的解法吗？笔者便从“本手、俗手、妙手”三个角度分别入手，来探究一道对称双变量条件最值问题，现整理如下，以飨读者.

1 問题呈现

问题1 设实数a，b满足a+b=6，则（a2+4）（b2+4）的最小值为＿＿＿.

这是一道题既简洁又优美的双变量函数的条件最值问题，其优美感来自于代数结构中的对称性，即在条件和结论中，任意交换两个变量都不会改变条件和目标函数.然后在这道试题简洁优美的外表下，却隐藏着有一个极具诱惑性的“俗手”，即通过令两个对称变量相等来求出最值，文献［1］称这种方法为对称变量法.在一次测试中，不少学生便把a=b=3代入目标函数求得最小值为169，测试情况反映出对称变量法这招“俗手”具有明显的普遍性，也反馈出该类型问题具有一定的深度探究价值.

文献［1］针对此问题进行了探讨，但仅仅先由整体换元法来求得正确结果144（当a=3+5，b=3-5或a=3-5，b=3+5时），再通过指出“144比169小”来否定对称变量法.笔者认为这并不能完全打消学生心中的疑惑：“答案为什么不是a=b=3这一对称、优美、合乎情理的数，而是3±5这一怪异、丑陋、匪夷所思的数？对称变量法的错因到底在哪里？对称变量法的适用条件又是什么？”笔者首先肯定学生的质疑精神，继而将问题1中的条件与结论推广到一般形式，使其更有研究价值.

2 立足本手 风光不与四时同

问题2 设实数a，b满足a+b=m（m＞0），则当t＞0时，f（a，b）=（a2+t）（b2+t）的最小值为＿＿＿，此时实数a，b的值分别为＿＿＿.

5 结语

2022年语文新高考Ⅰ卷对“本手、妙手、俗手”有如下阐述：“本手是基础，妙手是创造.一般来说，对本手理解深刻，才可能出现妙手；否则，难免下出俗手，水平也不易提升.”在数学的解题教学过程中也正是如此，教师首先应当立足于“本手”，即立足于“四基”，引导学生理解基础知识、习得基本技能、感悟基本思想、积累基本活动经验，从而形成规范化思考问题的品质；其次应注重在解题教学过程中合理体现几何直观与代数运算之间的相互融合，即通过形与数的结合，感悟数学之间的关联，加强对数学整体性的理解，从而实现解题教学由“知识立意”向“能力立意”的转变，以此才能促使学生在解决具体问题时，从不同角度来巧施“妙手”.同时“俗手”亦有丰富的思维价值，通过对“俗手”的错因与成因的深度探究，可养成一丝不苟、严谨求实的科学精神，也有利于提高学生的独立思考能力.

参考文献

［1］孙承辉.从学生的三个疑问反思基本不等式复习［J］.数学通讯（下半月），2018（6）：48-50.

本文是江苏省中小学教学研究第十四期立项课题《高中数学拔尖创新人才的培养策略研究》（课题编号：2021JY14-XK16）的阶段性成果.）