经历符号抽象，发展数学眼光

周海斌

抽象能力是数学核心素养“数学眼光”的主要表现之一。其實，数学源于对现实世界的抽象，没有“抽象”，就没有数学这门学科。而符号则是抽象中的抽象，数学的符号化推进了数学学科的发展。《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）也把抽象能力（包括数感、量感、符号意识），列为数学核心素养“数学眼光”的主要表现之一。本文以“用字母表示数”教学为例，谈谈如何引导学生经历符号的抽象过程，发展数学眼光。

一、引发符号化需求，产生抽象意向

问题是数学的心脏。“数学眼光”的一个重要含义是在各种现实和数学的问题情境中，“看”出其中的数学规律，发现和提出有意义的数学问题。数学符号是对客观事物及其本质属性进行有意义抽象的产物。小学生处于具体形象思维向抽象逻辑思维过渡阶段，不易接受较为抽象的数学符号。因此，教师要创设情境，引发学生的认知冲突，用数学眼光发现问题，激发符号化需求，产生数学抽象的意向。

【片段一】

教师出示数量都为5的“人、苹果、玩具”的图片。

师：有什么相同的地方？

生：都是5个。

师：用什么符号表示？

生：数字5。

师：一个小小的符号表达了不同物体的相同数量。

教师出示：摆1个三角形用（1×3）根小棒，摆2个三角形用（2×3）根小棒，摆3个三角形用（ ）根小棒……

师：说得完吗？怎么办？

生：可以尝试用一种简洁的方式来表示所有的情况。

【思考】“看”出“同数不同物”，这是学生已经具备的数学眼光。温习“由物到数”的抽象过程，将学生引入最近发展区，理解数字只是一个符号，为新情境下解决问题提供脚手架，为再一次抽象和创造新符号做好铺垫，为由常量数学走向变量数学蓄势。在此基础上，顺势创设新情境“摆三角形”，产生新问题“如何简洁地表示所有的情况”，激发学生的好奇心和创造力。

二、尝试符号化创造，领悟抽象本质

“数学眼光”是观察现实世界的一种特殊方式，其目的是透过事物的表面现象和各种物理属性，抽象出数量关系与空间形式。抽象是指舍弃事物个别的、非本质的特征，抽取出共同的、本质的特征的过程。荷兰数学家弗赖登塔尔说过，学习数学的唯一正确方法是实行“再创造”。因此，让学生经历符号再创造的过程，领悟抽象本质，对于发展数学眼光具有重要作用。

【片段二】

学生自主创造表达方式，小组交流反馈，归纳方法。

1.用省略号表示：3×3、4×3……

2.用数量关系式表示：三角形个数×3=小棒的根数。

3.用自己的话描述：摆（若干）个三角形用（三角形个数的3倍）根小棒。

4.用字母表示方法一：摆（a）个三角形用（b）根小棒。

5.用字母表示方法二：摆（a）个三角形用（a×3）根小棒。

对比优化：你们最喜欢哪一种？为什么？

小组讨论，得出结论：用字母表示显得简洁；与第4种方法相比，第5种方法只用了一个字母，并且能看出三角形和小棒之间的数量关系。

师：是呀，a×3这个式子既可以表示小棒的数量，又可以反映小棒和三角形之间的数量关系。那么，这儿的a可以表示哪些数？

生：1，2，3……

生：可以表示任意一个自然数，不固定，可以变化。

生：表示未知的数。

师：这儿的a可以用其他字母表示吗？或者用☆、□等特殊符号表示吗？

生：都可以。

【思考】学生进行符号创造的过程，就是从算术思维走向代数思维的过程。从用数字表示，到用字母表示，再到用任意符号表示，学生逐步领悟抽象的本质，即符号的形式并不重要，只要这个符号能代表“一类数”，反映出这类数的共同特征。学生的“数学眼光”得到提升，对数学的认识经历了一次飞跃，从表象走向抽象，从有限走向无限，体会到用字母表示数的简洁性、概括性和一般性。

三、理解符号化规则，提高抽象意识

客观世界经“数学眼光”抽象后，形成概念、规则和结论等，再对这些数学语言进行二次抽象，形成符号化表征。数学语言符号化遵循一定的规则，有些规则看似是约定俗成的，但背后其实蕴含着道理，教学中教师不可以让学生机械记忆，而要进行有意义的接受学习，理解规则这样界定的道理，增强抽象意识，提高“数学眼光”。

【片段三】

学生自主阅读教材，理解用字母表示数的规则，集体交流反馈。

生：加减除式子的格式与以往一样，比如，280-b，a+28，x÷5。

生：乘法格式有特殊要求。一般将乘号省略，并且数字在前，字母在后。

师（追问）：为什么将乘号省略？为什么数字在前，字母在后？

（学生疑惑）

师：x×3，你们觉得怎样？

生：乘号与字母x容易混淆。

师：所以将乘号省略，或者写成乘点。另外，人们习惯上将已知的写在前面，未知的写在后面，所以x×3写成3x或3·x。简写规则也不是随便定的，是有道理的。

生：1与a相乘，积写成a，省略1，因为1和任何数相乘，还等于那个数。

生：a×b一般是简写成ab，不是ba，人们习惯按照字母顺序编排。

生：相同字母相乘有特殊形式，如a×a，写成a2，这个2表示有2个a相乘，有特殊意义，所以写在右上角，读作a的平方。

师：用字母表示数，为什么要定这些规则？

生：省略乘号后，显得很简洁。

生：这些规则都很有道理，例如防止混淆。

生：表达更准确。

【思考】用符号表征关系和结构遵循一定的逻辑规则，这些规则有很强的抽象性，这与学生已有的“数的表征”经验形成冲突。因此，学生在作业时经常出错。心理学家奥苏贝尔认为，有意义的接受学习的先决条件之一是材料必须具备逻辑意义。“用字母表示数有什么规则”“为什么定这样的规则”，让学生知其然更知其所以然，体会到数学的抽象不是为了简洁，而是要基于逻辑性、准确性等数学特点。

四、探索符号化运算，体会抽象价值

“数学眼光”赋予人们透过“个别”看出“一般”的能力。“新课标”指出，要让学生知道用符号表达的运算规律和推理结论具有一般性。因此，让学生经历符号化过程，培养抽象能力，不仅包括会用符号表征数量及其关系，还要能利用符号进行运算和推理，并让学生知道符号虽然很抽象，但基于计算法则和逻辑关系，它的运算和推理结果具有一般性，能代表一类问题，是解决数学问题的有力工具，从而引领学生体会抽象的价值，发展数学眼光。

【片段四】

教师出示题目：2x+3x=？让学生谈谈自己的想法。

生：根據乘法分配律，2x+3x=（2+3）x=5x。

师：是呀，运算律对字母式子同样适用。这儿的x可以表示什么数？

生：表示任意一个数，整数、小数、分数都可以。

师：2x+3x=5x，一个式子就能概括所有数的运算。你们能根据这个式子，编一个问题吗？

生：苹果每千克x元，先买2千克，再买3千克，一共花了多少钱？

生：汽车每小时行驶x千米，早上行驶2小时，下午行驶3小时，总共行驶多少千米？

生：六（1）班女生站成2排，男生站成3排，每排x人，六（1）班一共多少人？

师：能说得完吗？你有什么体会？

生：太厉害了，一个式子能代表这么多实际问题。

生：只要是这个类型的，都能用这个字母式子表示。

【思考】越是抽象的事物越具有一般性。理解符号表达的一般性，有利于培养学生模型意识，发展数学眼光，体会抽象价值。在本教学环节中，教师从两个方面引导学生理解一般性：一是式的运算，既然字母表示数，那么字母式子同样遵循数的计算法则和运算律，同时因为字母可以代表一类数，所以式的运算具有一般性；二是式的应用，不同的问题情境可以用同一个式子来概括和表达。

五、追溯符号化历史，建立抽象观念

发展数学眼光必须激发学生对数学的好奇心与想象力。数学家罗素说过：“数学就是符号加逻辑。”数学的发展史就是符号的产生和发展史。通过探寻数学发展史，可以看到数学研究对象产生的原因、必要性以及表达方式的优化历程。因此，教师应引导学生追溯数学符号的演变历史，体会符号的作用，建立抽象观念，同时领略数学文化，激发学习兴趣，发展数学眼光。

【片段五】

教师出示课前的“人、苹果、玩具”图片。

师：现在大家都用数字“5”表示数。那么，古人是如何表示数的呢？数的表示是如何发展和演变的呢？

学生观看“微课”，了解“数的历史”：用物表示（石块、结绳等）、算筹表示（专制小棒等）、文字表示（壹、Ⅳ等古文字）、数字表示（阿拉伯数字）、字母表示（丢番图用“缩写字母”表示数、韦达把字母当作符号来表示数）。

师：你们有什么体会？

生：数学的发展过程很漫长和曲折。

生：无数数学家付出了艰辛的劳动。

生：数学越来越难了……

师：是呀，用字母表示数后，数学就从研究具体的数走向研究变化的、抽象的数，产生了新的数学分支，为现代科学的发展奠定了基础。同学们，这是一个新的数学世界，等着你们去探索和发现！

【思考】首尾呼应，联系课首“用数字表示数”，引出“数的表示”演变历史，再现人类探究历程的关键节点。让学生认识到，数学语言的产生和发展不是一蹴而就的，而是一个曲折而漫长的过程，是一个不断抽象和统一的过程。使学生体会数学家的努力和艰辛，并领略数学的文化和魅力，激发学生用“数学眼光”观察现实世界的兴趣。

（作者单位：江苏省泰州市凤凰小学）