从一道二次函数题谈代数运算能力的落实

广东省广州市第十六中学(510062) 梁镇辉

1 基于‘学业要求’,精选运算典例

新标准在课程内容呈现上注重数学知识与方法的层次性和多样性[1], 对二次函数的运算要求方面主要涉及函数表达式的计算、交点坐标的求解、运用配方法转化函数表达式形式、求顶点坐标、关联方程和不等式等. 此外,习题设计要关注数学的本质和通性通法, 让学生感受数学运算多样性[3]. 基于上述分析,在典例选择上,选取了2019 年山东省泰安市岱岳区九年级(上)期末试卷第23 题,已知二次函数y=x2+2mx+(m2-1)(m是常数). (1)若它的图象与x轴交于A,B两点,求线段AB的长度. (2)若它的图象顶点在直线y=-x+3 上,求m的值. 该题目考察二次函数相关运算能力,解法多样,还能够提升学生含参运算能力,体现了适应学生运算能力的发展需求.

2 着力‘符号的运算和推理’,强化运算技能

新标准建议老师在数与代数领域教学过程中,通过符号的运算和推理提升运算能力. 标准还要求教师在教学过程中,关注学生个性化、多样化的学习和发展需求,不同的学生在学习数学的过程有不同的收获, 当然也会形成不同的理解.学生二次函数知识构建的层次性和多样性差异,使得学生在二次函数的运算和推理过程中,产生不同的认识和解法,我们尊重学生的主体地位,鼓励一题多解,促进学生在原有二次函数相关基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验上得到后续发展.

2.1 典例问(1)的解法

求线段长的数学本质是二次函数与x轴交点横坐标的差,可转化为一元二次方程的求根问题,认识到多种求根方法,便有如下解题思路:

2. 利用配方法求根. 因为0 =x2+2mx+m2-1 =(x+m)2-1,∴(x+m)2=1,解得x1=-m+1,x2=-m-1进而解决问题.

3. 利用因式分解求根. 因为0=x2+2mx+(m-1)(m+1)=(x+m+1)(x+m-1),解得x1=-m+1,x2=-m-1进而解决问题.

显然,典例问(1)立足把二次函数问题转化为解含参的一元二次方程的求根运算问题,在没有具体解的情况下,用含字母m的代数式代入求根公式、使用配方法或者因式分解这些‘通性通法’,表示解的代数式,发展学生符号意识. 用含参的代数式计算线段长度,提升学生代数式与代数式运算的能力.

2.2 典例问(2)的解法

问(2)的运算对象显然是二次函数顶点坐标,从不同方面认识顶点坐标的意义,则有以下解题思路:

2. 利用配方法把函数解析式转化为顶点式求解. ∵二次函数y=x2+2mx+(m2-1)= (x+m)2-1,∴顶点坐标为(-m,-1),进而解决问题.

3. 利用顶点坐标落在对称轴上转化为用x轴两个交点计算对称轴求解. 由(1)知A、B关于抛物线对称轴对称,则=-m,代入抛物线解析式得y=-1,进而解决问题.

显然,典例问(2)立足顶点坐标的意义理解,强化了二次函数一般表达式下顶点公式代入计算能力和配方法转化函数表达式的技能,借助函数图象的轴对称性可以快速求出顶点横坐标. 不同角度的理解和思维方法,促进学生学会选择合适的运算思路解决问题的素养.

3 着力‘引发学生思考’,深化运算内涵的认识

新标准提出在教学中要帮助学生建立能体现数学学科本质、对未来学习有支撑意义的结构化的知识体系[1]. 二次函数学习完后,学生能否总结归纳相关运算的依据呢? 在运算的过程中如何帮助学生加深函数转化为方程问题的思想方法呢? 如何发展学生运用二次函数的知识和方法发现、提出、分析和解决问题的能力?

3.1 引发学生思考公式内涵,培养运算推理能力

新标准要求教师帮助学生学会用整体的、联系的、发展的眼光看待问题, 形成科学思维发展核心素养[1]. 由完 全 平 方 公 式(x1-x2)2= (x1+x2)2-4x1· x2以 及|x1-x2|2= (x1-x2)2, 引发学生由根的关系联想韦达定理解决问题,培养整体运算能力,发展代数的逻辑推理素养. 可得到典例(1) 的新解法: 若A、B两点横坐标分别为x1、x2,则AB=|x1-x2|,Δ=4,即Δ＞0,方程有解,由韦达定理x1+x2=-2m,x1x2=(m2-1),且(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=4,代入得AB=|x1-x1|=2.

3.2 引发学生思考解题困惑,培养运算转化能力

由于顶点在抛物线上, 也落在直线上, 对顶点的认识就可以转化为两函数图象的交点. 第一次引发学生思考问题:能否转化为联立方程■组求交点坐标的方法? 可得典例

由于此处解方程遇到困难, 第二次引发学生思考问题:联立方程组的解题过程有误吗? 思路对吗? 解不出根怎么办? 是不是还可以转化求解思路? ...... 学生很快得出两个结论: 思路正确, 解题过程无误; 学生通过消x的思路得y=(6-2y)2+2m(6-2y)+(m2-1)仍然无法解出y,大家再次陷入困局.

由于解方程的困难还没有解决, 第三次引发学生思考问题: 最终问题是求出m, 把字母m当作这个方程的未知数转化求解思路可以吗? 于是得关于m的一元二次方程可是事与愿违,同样无法求出m.

由于如何解方程的问题依旧没有解决,最终第四次引发学生思考问题: 二次函数的顶点坐标是唯一的吗(由于抛物线开口方向与大小确定,那么m就只有一个对应的值)? 解析式中字母m的值也是唯一的吗? 关于m的一元二次方程有多少个解? : 很快学生发现顶点唯一,即m的解的个数只有一个,联想到根的判别式,即关于m的一元二次方程有两个相等的实数根,得x=8. 继而解得m=-8.

这种解法真是“山重水复疑无路,柳暗花明又一村”,看似无法运算的含参方程的问题,如果师生及时提出合适的问题,转化思维,就会“直捣黄龙”.

3.3 鼓励学生质疑问难,培养运算思辨能力

运算能力是算和思、操作和思辨的融合[2]. 先鼓励学生思考: 顶点坐标是一个未知量, 能否通过设元办法求解呢? 如何设元表示顶点坐标比较合理简便呢? 学生根据题意分享自己的看法, 得到合理且简便的设元新思路. 因为顶点在直线上, 设顶点为(h,-代入抛物线解析式h+ 3 =h2+ 2mh+m2-1,整理得0=h2+(2m+)h+(m2-4).

接着鼓励学生质疑: 这个方程能解吗? 需要转化思路吗? 此时, 学生经过前一种转化思路的引导, 很快把这个不能直接求出h解的参数问题, 转化为关于h的一元二次方程, 如法炮制, 抛物线的顶点只有一个, 即关于h的方程0 =h2+(2m+)h+(m2-4)有两个相等的实数根,∴Δ = (2m+)2-4(m2-4)= 0,解得m=-. 解到这个地方,老师和学生全都惊讶了,为什么这个思路与前面的解题方法一样,但是结果却是不同的呢?

紧接着鼓励学生质疑: 是不是解题过程有误? 是不是方法不对? (实际上过程和方法都对)学生质疑得到: 顶点是唯一的本质不应该是h有唯一解, 而应该是m有为一解, 把字母m当作这个方程的未知数. 于是转化为关于m的一元二次方程m2+2hm+(h2+h-4) = 0. 由于顶点是唯一的,因此关于m的一元二次方程有两个相等的实数根,∴Δ = (2h)2-4(h2+h-4) = 0, 得h= 8. 继而解得m=-8.(全班哗然)

引导学生质疑同一种解题思路下, 为什么两种结果完全不一样呢? 实际上我们画出这两个函数的图象(草图也可以)就发现问题所在. 即对抛物线而言,一共有两个点落在了直线上,除了顶点外,还有另外一个点. 所以利用直线解析式设定抛物线顶点坐标就不是‘唯一’的了,(h,-h+3)有可能是顶点,也有可能是两个图象的其它交点,因此对应h的方程有两个不相等的实数根了. 而顶点坐标的唯一性决定了函数表达式的唯一性,即m值的唯一性,所以转化为关于m的方程有两个相等实数根才是合理的. 通过这样的质疑问难,让不同层次的学生的思维真正得到锻炼,既有正向思维也有逆向思维,既有模仿训练也有区分思辨,从而培养学生的数学运算能力和运算实效性[3].

总的来说, 二次函数的计算问题, 乃至其它方面的数学运算问题, 有其基本方法和基本思路, 需要‘注重和夯实运算的过程性教学[3]’. 同时在训练基本运算技能的基础上, 需要创造机会让学生多思、多辨, 经历发现问题、提出问题和解决问题的过程, 提升学生的数学素养. 依据新课程标准精神, 借助二次函数的学习, 希望学生在价值观引导上, 能够形成积极的解法探究精神和数学学习兴趣; 在品格培养方面, 形成善于思考、主动提出合理问题的学习习惯和合作交流的意愿;在关键能力培养当中, 能够洞悉二次函数运算内涵, 及时转变思维, 培养起高中阶段学习所必须具备的代数运算能力.