通过“同类量的比”获得概念定义

黄力 刘飒 张维国 巩子坤

【编者按】 学好数学的法宝之一是透彻理解概念，而非机械记忆概念。理解“比”的概念，是一个难点。为了帮助学生建立比与除法、分数之间的内在联系，实现对“比”的理解从概念定义、概念延展到概念深化的总体进阶，杭州师范大学巩子坤教授领衔的团队设计了环环相扣的三条学习路径，并在课堂中开展了实证研究。本期《专题研究》栏目，呈现他们的研究成果。

摘 要：通过“同类量的比”获得概念定义，是“比的认识”的第一条学习路径。教学时，教师要关注学情，从“差比”过渡到“倍比”，从贴合学生实际的倍比情境中引导学生进行“差关系”和“倍关系”的比较，明晰“倍比”的重要性和独特性。同时，紧扣“关系”，引导学生有序探究、获得比的概念。探究相同比得到形状相同而不同比导致形状不同的过程，有助于学生感悟“比”的本质就是描述两个数量之间的倍数关系，从而得到比的定义。

关键词：小学数学；比的认识；同类量的比；概念定义

本文系浙江省哲学社会科学规划课题“基于认知发展模型的义务教育教科书编写质量提升研究”（编号：23NDJC265YB）、浙江省高校重大人文社科攻关计划资助项目

“建设高质量教育体系背景下义务教育教科书编写质量提升路径研究”（编号：2023GH005）的阶段性研究成果。巩子坤为本文通讯作者。

小学数学领域，“比”的学习能够促进学生对除法和分数的进一步认识，沟通知识间的内在联系，为后续比例以及其他有关内容的学习奠定基础。什么是“比”？《辭海》中解释道：“比”概念的本源是“比较”，比较两个同类量的关系时，如果以b为单位来度量a，称a比b，所得的k值称为比值［1－2］教学中，通过“同类量的比”获得概念定义，是“比的认识”的第一条学习路径。

一、研究设计

选取深圳市一所普通小学开展教学实验，由教师H授课。研究对象为六年级甲、乙两个平行班的学生。

实验前，对两个班进行前测，统计分析两个班的前测数据，使用SPSS 23.0进行独立样本t检验，得知两个班学生在授课前对“比”概念的理解不存在显著性差异（t=－4.230，p=0.265），知识水平相当。

本研究主要采用课堂观察法、问卷调查法、访谈法以及行动研究法。来自教师的数据包括：教学设计、教学课件、教学研讨、教学录像。来自学生的数据包括：前测、后测、学习单。

通过课堂观察及前测、后测数据分析，说明学习路径是否得到了优化。

教师按照自己对教材的理解和学情的分析，设计“学习路径A1”。先在甲班授课，课后实施后测，随机抽取学生访谈，了解教学目标达成情况，并根据后测和访谈结果与观课者进行研讨，完善学习路径。随后，教师设计“学习路径A2”，并在乙班执教。最后，通过对比两次教学效果再次研讨，完善学习路径。

授课前，对学生进行前测，共3题（每题5分，满分为15分）。例题如下：

包包子用的面中，面粉和水的质量比为1∶2。

这句话是什么意思？请写下你的想法。

对学生的作答情况进行赋分。如对上述例题，能准确描述面粉和水的倍数关系，记5分；能从“份数”的角度解释“1∶2”的意思，但没有表述面粉和水的倍数关系，记3分；能比较面粉和水谁多谁少，记1分；不能比较面粉和水谁多谁少，记0分。

授课后，对学生进行后测，共2题（每题5分，满分为10分）。例题如下：

写出图1中两杯糖水各自糖和水的质量比，判断哪杯水更甜一些，并说明理由。

对学生的作答情况进行赋分。如对上述例题，能正确写出“比”，能正确判断且能从比、百分数等角度说明原因，记5分；能正确写出“比”，能正确判断但不能说明原因，记3分；能正确写出“比”但不能正确判断，记2分；不能正确写出“比”但能正确判断，记1分；不能正确写出“比”且不能正确判断，记0分。

二、研究过程与分析

（一）学习路径A1

1.任务介绍

学习路径A1由“小辉参加学校田径运动会，需要制作运动员证”的情境引入，使用照片长、宽比值不同而引起人像变形的例子（如下页图2所示），帮助学生有序探究同类量之间的比，得到比的合理定义。

设计了4项任务：

任务1的目标：感悟图片的长和宽之间隐含的关系。子任务1，引导学生对图片作出像或不像的判断，从而引发学生思考；子任务2，让学生猜测像不像可能与图片的什么有关。

任务2的目标：发现像的一类图片，长是宽的1.5倍。子任务1，先出示像的一类图片，让学生尝试寻找它们之间的关系：长除以宽（或者宽除以长）所得的商相同。子任务2，结合图片A的长宽比，带领学生认识比的定义（两个量之间的倍数关系，表示为a∶b，也可以表示为a÷b、a/b）、读写方法、各部分的名称以及求比值。

任务3的目标：

写出图片C和图片E的长宽比，尝试从“比”的角度说明其与图片A不像的原因。

任务4的目标：了解比的度量价值，了解比在现实中的应用，凸显学习比的必要性。生活中有许多事物的属性，如形状、油漆的颜色以及衣服的质地，是不可度量的，但它们可以通过比较两个可以度量的对等的量之间的关系进行比较，如通过涤纶和棉的质量比来判断哪件衣服更柔软。

课堂的最后，教师结合板书带领学生回顾探究比的概念的过程，联系生活实例进一步理解比的概念。

2.问题分析

（1）没有借助生成资源，从“差比”走向“倍比”

如前测第3题：“包包子用的面中，面粉和水的质量比为1∶2。

这句话是什么意思？请写下你的想法。”对学生的回答进行统计分析后发现，学生对“比”的认识集中于“比较关系”。大部分学生利用“比”来表述“谁多谁少”，只有少部分学生能明晰这种“比”是一种“倍数关系”。因为给出两个量，让学生比较大小

或多少，学生一般会先用减法比较差距（差比），而本节课要学的“比”是用除法所得的倍数来比较大小或多少（倍比）。当学生聚焦在图片自身长与宽之间的关系时，无非有两种解决问题的思路：一是差的关系，即长与宽之间是否存在相同“差”的关系；二是倍的关系，即长与宽之间是否存在相同“倍”的关系。当探究长与宽之间的倍数关系时，学生自然而然会想到除法。但教师没有抓住学生“差比”这一生成资源，帮助学生从原有认知中的“差比”走向“倍比”。

（2）比与除法的关系不明确，引入比的概念突兀开展任务2时，学生通过观察、计算，主要从以下两个角度进行判断：

其一，各图片之间长的关系和宽的关系；其二，各图片长与宽的比及其之间的关系。

一位学生的学习单上出现了“比”，教师便顺势引入“比”：“可以像这位同学这样，用‘比来表示长与宽之间的倍数关系。”但巡堂观察发现，只有极少数学生想到用“比”来表示图片自身长与宽之间的关系。教师急于引入，从而导致很多学生不理解为什么可以这样。

以下是课堂片段：

师 6∶4，它指的是什么？

生 6÷4。

师 6指的是图片A的什么？4指的是图片A的什么？

生 分别是图片A长方形的长和宽。

师 我们可以像这位同学那样，把图片A的长与宽之间的倍数关系表示为6∶4。长∶宽＝6∶4，长和宽之间到底存在怎样的关系？

生 它们都是2的倍数。

生 都可以约分，能被2整除。

教师意识到学生不会从“6是4的几倍”的角度思考后，便引导学生把6∶4转化为6÷4，算出1.5。

教师多次牵引，学生才逐渐理解“6∶4表示6是4的1.5倍”。随后，让学生用同样的方式探究图片B和图片D。学生发现它们的长也是宽的1.5倍，这时才从“图片自身长与宽的比与其他图片的关系”的角度明晰这三个图片为什么像。

学生难以理解的原因在于6与4不存在整倍数的关系，需要通过除法运算才能明晰“6是4的1.5倍”。当学生还不清楚图片相像是因为各图片的长宽存在相同的倍数关系时，就匆匆引入比，学生会不明所以。一会儿是从“6∶4”思考长与宽之间存在怎样的关系，一会儿又回到“6÷4”求倍数上，学生根本不懂比的意义，也理不清比与除法之间的关系。

（3）没有凸显关系以及关系的探究过程

作业单中有这样一道题：“像”的这三张图片的长与宽有什么关系？

这样的任务设计与设问，影响了学生对“比”概念的认识。大部分学生受此题设问的影响，并没有聚焦图片自身长与宽之间关系的探究，而是从三张图片长与长之间、宽与宽之间的关系入手，如：图片B的长×2＝图片A的长，图片B的宽×2＝图片A的宽，所以图片B与图片A像。

原因有二：一是教师将“像”的一类和“不像”的一类分开探索。分开探索就缺少比较，缺少比较也就不利于学生感悟“比”的度量价值，即：长与宽的比能表示长与宽之间的倍数关系，通过长宽比是否一样来判断形状是否一样。

图片A、图片B和图片D，自身的长都是宽的1.5倍，长与宽之间的倍数关系相同，所以像；而图片E，自身的长是宽的6倍，与前三个图片长与宽的倍数关系不同，所以不像。二是问题本身容易引导学生从“各图片之间长的关系、宽的关系”这一角度进行探索，而本节课的重点应该是聚焦图片本身长与宽之间的倍数关系。

3.改进建议

（1）基于学生的认知起点，有序由“差比”引入“倍比”

前测的结果表明，学生对“比”的认识包括“差比”和“倍比”。而教師在实施学习路径A1时，顺着一位学生的分享，直接引出“比”（6∶4），忽视了还有学生是从“差比”的角度进行探究的，这与学生整体的认知起点相违背。有一部分学生会用加减法探索图片像与不像，如算周长、算长与宽的差距等，这是很好的比较素材，能让学生明晰：可以从“差”的角度和“倍”的角度探索图片自身长与宽的关系，而本节课聚焦的是“倍”的关系。因此，要顺着学生的思维，从“差比”和“倍比”的对比入手，探究图片像与不像的原因，再通过“表达长与宽之间的倍数关系”这一任务引入“比”。

（2）引导学生探索图片自身长与宽的关系，厘清除法与比的关系

首先，修改学习单中的问题引导语，引导学生关注图片自身长与宽之间的关系。然后，把主情境的5张图片放在一张方格纸上，让学生观察，引导学生发现：相像的图片，它们的长除以宽（或者宽除以长）所得的商相同；不像的图片，它们的长除以宽（或者宽除以长）所得的商不同。因此，学生可以进一步发现长方形的形状可以用它特征量之间的关系来表示，即长与宽的比（或者宽与长的比），表示长与宽之间的倍数关系。这是比的现实来源，也是学习比的必要性。

（3）以“关系”优化整个学习路径

将任务1和任务2分别设为“感悟关系”和“探究关系”。将任务3修改为“表示关系”，通过“表示关系”引入比，即图片A的长是6、宽是4，长与宽之间的倍数关系从分数的角度可表示为“长=宽×64”；从除法的角度可表示为“长÷宽＝1.5”；此时再引入“比”，比表示两个数量之间的倍数关系，因此可以表示为“长∶宽＝6/4”。将任务4修改为“夯实关系”，结合实例理解比的本质。通过设计这样的任务序列，从除法、分数与比的关系引导学生理解比的本质。两个数的比也可以写成两个数相除的形式，两个数相除的形式也可以写成两个数的比；比也可以用分数的形式表示，分数也可以用比的形式表示。

经过对任务序列的优化，从而把整个学习路径的重点落在“关系”二字上，即：感悟关系—探究关系—表示关系—夯实关系。

（二）学习路径A2

1.任务介绍

任务1的目标：感悟关系，即感悟图片的长和宽之间隐含的关系。子任务1：判断哪些图片与图片A比较像？子任务2：猜测像与不像可能与图片的什么有关？

任务2的目标：探究关系，即发现像的一类图片，长是宽的1.5倍。子任务1：上面这些图片的长和宽有什么关系？子任务2：图片相像的奥秘是什么？

任务3的目标：表示关系，即了解表示两个量之间倍数关系的形式。子任务1：如何表示图片A长和宽之间的倍数关系？子任务2：认识比的定义、读写方法、各部分的名称以及求比值。

任务4的目标：夯实关系，即结合实例，理解比的本质内涵。子任务1：联系实际说说生活中有哪些比。子任务2：长方形的长宽比与长方形的形状有什么关系？

相对于学习路径A1，学习路径A2有以下变化：

其一，调整任务2中子任务1的设问，引导学生聚焦图片自身长与宽之间的关系，在“差关系”和“倍关系”的比较中，发现从“差关系”的角度发现不了

图片像与不像的奥秘，了解从“倍关系”的角度比较两个数量之间的关系；将任务2的子任务2修改为“如何表示图片A长和宽之间的倍数关系”，引导学生理解表示两个量之间的倍数关系，除了可以用分数、除法的形式，还可以用比，初步感悟除法、分数和比的联系。

其二，增加任务3的子任务2，启发学生初步思考比和分数、除法有什么关系，旨在厘清除法与比的关系，凸显比的本质，即：比表示两个量之间的倍数关系。有的“比”表示的倍数关系能一眼看出，如“2∶1”；有的“比”则看不出，如“12∶8”，这时就需要用除法求出比值。因此，“比”是一种数量关系，不是除法运算，只是在求比值时才用除法。

其三，通过“像”与“不像”的对比，突出“倍数关系”。在学习路径A1中，教师先引导学生探究“像”的图片，认识比的定义后再回过头来探究“不像”的图片，会误导学生认为“不像”的一类图片长与宽之间不存在比、不存在倍数关系。这样的任务序列不利于学生理解比的概念内涵与本质。因此，在学习路径A2任务2的子任务1中，将两类图片放在一起探索、一起讨论；然后，增设任务4的子任务2，引导学生将长方形的长宽比与其形状建立联系，明晰现实中事物的属性如果像形状那样不可以度量，则可以通过可度量的特征量（长、宽）之间的关系进行比较，从而深入理解比的概念内涵。

2.教学效果

在研究中进行前测和后测，能更好地掌握学生的学习基础，量化评价教学效果。在本次研究中，两次前测和后测内容基本一致（即理解“比”的概念内涵和本质）。从前测来看，甲、乙两班学生的基础相当，没有显著差异。在甲班实施学习路径A1、乙班实施学习路径A2后，后测数据显示，乙班学生对“比”的概念内涵和本质的理解更好一些，说明学习路径A2能有效促进学生对“比”的概念本质的理解。具体分析如下：

（1）前测情况

前测包括3道题，分别为：（1）说一说分数与除法的关系；（2）通过糖和水的质量比，判断哪杯水更甜并说明理由；（3）写出题目中“比”所表达的意思（即上述“包包子”问题）。对甲、乙班的前测结果进行统计，得到每题的班级平均得分率（见表1）。

由统计结果可知，甲、乙两班学生第1题的得分率较高，第3题的得分率较低，说明在授课前，大多数学生已经掌握了除法与分数之间的关系，超过一半的学生能通过糖和水的质量比判断出哪杯水更甜。然而，在具体的例子中，能用自己的语言清晰地表述“面粉和水的质量比是1∶2”这句话含义的学生较少。其中，也有少部分学生能理解比表示两个数量之间的倍数关系，并进行生动的表述。比如，设面粉是100克，为“1”；那么水就应该是它的2倍，即200克，为“2”，然后把它们混合在一起，就成了包包子用的面。又如，面粉为“1”，水为“2”，面粉比水少“1”，水则是面粉的两倍，可以想象成：一团面由“1”份面粉和“2”份水混合而成。

（2）后测情况

后测包括2道题：（1）通过糖和水的质量比，判断哪杯水更甜；（2）你认为，比是什么？可以举例说明。选取后测第1题对甲、乙班后测结果进行统计，得到该题两班的平均得分率分别为甲班75.5%、乙班83.0%。

从统计结果来看，在乙班实施了学习路径A2后，该题的平均得分率明显优于甲班。学生对于“比”的概念内涵的理解较好地迁移到了具体的例子中，并能够通过算一算、写一写等方式进行表述。

此外，对甲、乙两班的后测总分数据使用SPSS 23.0进行独立样本t检验，结果显示，两班的后测总分存在显著性差异（t=－2.315，p<0.05），也验证了本研究改进的学习路径的确更利于学生理解“比”的概念。

3.完善建议

基于最后一次研讨，提出学习路径A2的完善建议：

（1）精选素材，突出“倍比”的本意

对学生而言，聚焦图片本身长与宽之间的关系，不容易感悟“相差关系”和“倍数关系”的联系与区别。因此，可以选择篮球赛比分来引出“差比”；选择不同颜色的积木数量来引出“倍比”，凸显“比”是表示两个量之间的倍数关系。

（2）增设练习环节，丰富学生对比的本质的理解

“同类量的比”的概念有其发展过程。先是同类量的简单倍数比，如甘蔗饮料的配比1∶5；然后是同类量的复杂比，如树高与其影长之比，具有函数对应的背景。而本节课所呈现的例子太少，没有涵盖以上两个方面，导致学生对比的概念内涵理解不够丰富、深入。因此，可布置课后作业，让学生搜集生活中的比，对具体情境中的比进行解读、分类，丰富对“同类量的比”的认识。

三、研究结论与建议

（一）结论

概言之，优化的学习路径如下：（1）感悟关系，通过观察、讨论，学生在“图片像不像”的活动中感悟相像与不像图片（长方形）的长和宽之间隐含的关系；（2）探究关系，学生通过自主探究得出相像的一类图片的长都是宽的1.5倍，存在着相同的倍数关系；（3）表示关系，在沟通交流中，学生明晰除了除法和分数，还可以用比表示两个数量之间的倍数关系，同时学习比的定义以及表示形式；（4）夯实关系，联系生活，在具体的例子中，学生感悟比的本质——比表示两个量之间的倍数关系。

由后测分析结果可知，本研究设计的学习路径A2，能更好地帮助学生理解比的概念。

（二）建议

1.抓住学生知识生长点，从“差比”过渡到“倍比”

“比”这一概念的本源是“比较”。六年级学生对如何比较两个量的大小，已经学过两种方法。第一种是比较两数的“差关系”，第二种是比较两数的“倍关系”。在教学中，可以利用学生的认知起点“差比”，借助错例让学生产生认知矛盾，在“差关系”和“倍关系”的比较中，明晰本单元的“比”和此前习以为常的“比”的内涵不一样，本单元学的“比”是比较两个量之间的倍数关系。

2.紧扣“关系”，引导学生有序探究、获得比的概念

在教学中，先以“同类量”引入，这是学习

“比”的本，突出“比较”的本意，陈述一种状态，但最后归结为除法。因此，在设计这节课的过程中，可以始终围绕“关系”，以期让学生明晰“比”的本质就是描述两个数量之间的关系（倍数关系），通过感悟关系、探究关系、表示关系、夯实关系四个环节，达成教学目标。当学生认识“比”后，要重视举例、表达，让学生思考具体例子中的“比”的含义，进行讨论、交流，从而实现“比”的“概念定义”到“概念深化”。

参考文献：

［1］ 刘琳娜.对小学数学概念教学的思考——以“比的意义”为例［J］.课程·教材·教法，2012（6）：75－79.

［2］ 張奠宙，巩子坤，任敏龙，等.小学数学教材中的大道理——核心概念的理解与呈现［M］.上海：上海教育出版社，2018：172.