平行四边形存在性问题解题策略

赵洋 赵红余

朝阳市第四中学崔欣颖老师的直播课“再谈平行四边形存在性问题解题策略”选自辽宁教育学院“学到汇”公众服务平台“辽宁省初中数学学科周末名师公益课堂”，旨在贯彻落实国家“双减”政策，帮助广大师生自主学习和个性化提升.

崔欣颖老师的直播课，从知识储备、典型例题、提升训练三个方面展开，帮助同学们结合图形复习平行四边形的性质及判定方法，总结处理平面直角坐标系中平行四边形存在性问题的常用方法——“平移法”与“铅直三角形法”. 在“三定一动”“两定两动”两类模型中介绍了平行四边形存在性问题的两种解题思路，分别讨论了动点出现在坐标轴和一次函数上的不同情况，结合例题引发学生更多的思考，为九年级学习二次函数中平行四边形存在性问题解题策略提供了方法和依据. 下面，就让我们一起根据崔欣颖老师的策略，进行变式延伸.

变式延伸

例 如图1，已知A（1，0），B（0，-4），点P为y = -[12]x + 5上一动点，点Q为y = [34]x上一动点，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P，Q的坐标.

学法指导：可以讨论AB为平行四边形的边和对角线两种情况，从而确定点P，Q的位置.

解析：若以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，其中点A（1，0），B（0，-4），点P，Q在直线上，符合“两定两动”模型.

1.当AB为平行四边形的边时，可分两种情况.

第一种情况，如图2，PQ为平行四边形中AB的对边，在点C的左侧，由Q1在直线y = [34]x上，可设Q1为[t， 34t]，

由“平移法”或“铅直三角形法”得P1 [t+1， 34t+4]，

将点P1的坐标代入y = -[12]x + 5，

得[34]t + 4 = -[12]（t + 1） + 5，

解得 t = [25]，则P1 [75， 4310]，Q1  [25， 310].

第二种情况，如图2，PQ为平行四边形中AB的对边，在点C的右侧，由Q2在直线y = [34]x上，可设Q2为 [n， 34n]，由“平移法”或者“铅直三角形法”得P2  [n-1， 34n-4].

将P2的坐标代入y = -[12]x + 5，得[34]n - 4 = -[12]（n - 1） + 5，解得 n = [385]，

则P2 [335， 1710]，Q2 [385， 5710].

2.当AB 为平行四边形的对角线时，如图3，

由A（1，0），B（0，-4），得AB的中点D [12， -2]，

由Q在直线y = [34]x上，设Q为 [m， 34m]，

由中点坐标公式得P [1-m，-4-34m]，将点P的坐标代入y = -[12]x + 5，

得-4 - [34]m = -[12]（1 - m） + 5，解得m = [-345]，則P3 [395，1110]，Q3 [-345，-5110].

因此点P，Q的坐标有三种：P1[75， 4310]，Q1[25， 310]；P2[335， 1710]，Q2[385， 5710]；P3[395， 1110]，Q3[-345， - 5110].

分层作业

难度系数：★★★★解题时间：10分钟

如图4，已知A（-3，0），B（0，-1），P为y = [12]x + 3上一动点，Q为y = 2x - 4上一动点，若以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求P，Q的坐标. （答案见第23页）

〔作者单位：辽宁省实验中学（初中部）〕