基于一致性 提升运算素养

徐璐

［摘 要］《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》中多次提出要感悟运算的一致性，强调运算的一致性不仅有利于学生整体把握学习内容的主线，主动架构知识框架，还有利于学生知识迁移、内化方法，自主提升运算素养。文章以“分数除以整数”的教学为例，探究感悟运算一致性的落实策略，即从算式到图形，数形结合感悟算理；从特殊到一般，激发认知冲突，厘清运算本质；从旧知到新知，对比内化打通算法。

［关键词］运算的一致性；分数除法；计数单位；核心素养

［中图分类号］ G623.5［文献标识码］ A［文章编号］ 1007-9068（2023）14-0059-04

在研读《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》（以下称“新课标”）中发现，“数的运算的一致性”是新课标中的一个高频词汇，新课标从学段目标到课程内容、内容要求、教学提示、学业质量评价、课程实施要求、教材编写要求等，多次强调感悟运算的一致性。如“通过整数、小数、分数的运算，进一步感悟计数单位在运算中的作用，感悟运算的一致性”。即强调教师在教学小学阶段的“数与代数”领域时，要让学生感悟到不论是整数、小数还是分数的运算，其算理和算法的本质是相通的，都可以理解为计数单位的运算。

一、缘起：基于感悟运算的一致性教学理念价值的思考

1.有利于学生整体把握学习内容的主线，主动架构知识框架

以苏教版教材为例，数学知识是呈螺旋式上升的，虽然各知识之间存在联系，教学内容也结合学生已有的学习经验，但是大部分学生会认为知识是分散的。对此，教师如果在教学时能从一致性的角度引导学生去对比、归纳、总结，则有利于学生整体把握数学的本质，通过知识的联系主动架构知识框架。

2.有利于学生知识迁移、内化方法，自主培养运算核心素养

整数、小数和分数的除法，在学生看来是各有各的运算方法。对学生来说，光是记忆这些算法就要花费不少时间，而且在计算时还可能会搞混各种算法。那么从强调运算的一致性、统一算理与算法来进行教学，对提升学生的运算能力有很大的益处。

在实际的教学中如何感悟运算的一致性，落实新课标的理念，提升学生的运算素养，很多教师都进行了相关的教学实践。下面笔者就结合自身的教学实践和理解，以“分数除以整数”的教学为例，谈一谈运算一致性的落实策略。

二、落地：基于感悟运算的一致性的教学实践

1.教材分析

“分数除以整数”是苏教版教材六年级上册第三单元“分数除法”的第一课时。“分数除法”这个单元在小学教材中是非常重要的，一方面，它是对前面学习的分数乘法、整数除法、小数除法等内容的深化和巩固；另一方面，它是后面学习比、百分数等知识的基础。作为单元的起始课，“分数除以整数”的学习为本单元后面内容的学习奠定了基础。这一课的重点在于学生要经历分数除以整数的探究过程，理解分数除以整数的算理和算法。从运算的一致性的角度出发，除法的本质就是把计数单位的个数平均分，这样的算理同样适用于分数除法，即求几分之几除以几，可以理解为将几个几分之几平均分成几份，每份是多少。教师在教学时只要能引导学生从这个视角出发进行探究，则可以打通分数除法与小数除法和整数除法之间的壁垒，有助于学生形成完整且统一的除法运算的知识结构。

2.学情分析

根据皮亚杰的认知发展理论，六年级学生刚进入形式运算阶段，已经具备了初步的抽象思维和推理能力。结合学生已有的学习经验，教师通过设计操作、观察、推理等活动，是可以引导学生完成知识的迁移，以及对知识的内在逻辑进行内化和总结的。

在教学“分数除以整数”之前，笔者对学生进行了测试，发现大部分学生更注重算法，轻视算理。有的学生通过预习已经知道可以利用倒数的知识来算分数除法，但是却说不出理由。如果不明白算理，那么就很难与小数、整数的运算联系起来，数学的学习也只能停留在表面，不利于数学核心素养的形成。因此，教师的教学应重在引导学生对算理的探究、推理与总结。

3.教学过程

【教学片段1】初探算理，感知运算的一致性

师（出示问题1：杯子里有4升果汁，平均分给2个小朋友喝，每人喝多少升？）：怎么列式？为什么？

生1：4÷2=2（升）。把4升平均分成2份，求每份是多少，可以用除法计算。

师（出示问题2：杯子里有[45]升果汁，平均分给2个小朋友喝，每人喝多少升？）：怎么列式？为什么？

生2：[45]÷2。把[45]升平均分成2份，求每份是多少，还是可以用除法计算。

师：看来分数除法的意义与整数除法的意义是相同的，都是求平均分的问题。那么怎么计算[45]÷2呢？先独立思考，再把你的想法写在学习单（如图1）上。

师（出示学生作品，如图2）：说说你的想法。

生3：[45]÷2=[4÷25]=[25] 。[45]里有4个[15]，把4个[15]平均分成2份，每份是2个[15]，即[25]。

师：这是一道分数除法，但是你算的却是4÷2这样的整数除法，这样的情况在以前的学习中遇到过吗？

生4：算小数除法的时候遇到过。如0.6÷3，算的就是6÷3，意思是把6个0.1平均分成3份，每份就是2個0.1。6÷3表示的是把6个一平均分成3份，每份是2个一。

师：这里的[15]、0.1、1都是什么呢？

生5：计数单位。

师：对比整数、小数和分数除以整数的计算方法，你有什么发现吗？

生6：都是平均分计数单位的个数。

师：特别棒！你们通过对比找到了算法之间的联系。还有别的想法吗？

生7：[45]÷2=[45]×[12]= [25]。把[45]升平均分成2份，每份就是[45]升的[12]，那么我们可以用乘法来解决，写成[45]×[12]。

师：看来关于分数除以整数，不仅可以用整数除以整数、小数除以整数的算理来计算，还可以转化为分数的乘法来计算。

这个环节是通过对例题进行变式，让学生明白不论是整数除法还是分数除法，解决的都是平均分的问题，这就是除法的本质意义。学生通过在图上分一分、涂一涂的活动，能够在对比与思考中初步感知整数除法、小数除法与分数除法本质上是一样的，都是关于计数单位的运算，都可以理解为把几个几平均分成几份，每份是多少。

【教学片段2】问题探究，厘清运算本质

师（出示问题3：杯子里有[45]升果汁，平均分给3个小朋友喝，每人喝多少升？）：尝试列式计算。

生1：[45]÷3。

师：这时整数不能整除分数的分子，怎么办呢？

生2：我是这么想的，如果再把每一份平均分成3份，就是把这杯果汁平均分成了15份，原来的[45]就变成了[1215]，现在12可以除3了，结果是[415]。

师：也就是说当原来的计数单位不能被整除的时候，把计数单位变小再平均分就可以了。

生3：还可以用乘法来解决。[45]÷3=[45]×[13]=[415]，就是每人可以分到[45]升的[13]的意思。

师：看来这种方法不存在能不能整除的问题。通过乘法来解决问题更具有普遍性。仔细观察[45]÷2=[45]×[12]=[25]，[45]÷3=[45]×[13]=[415]，你有什么发现？

生4：分数除以整数，通常是转化为分数乘这个整数的倒数。

该教学片段是通过创建认知冲突，引导学生聚焦核心问题。当被除数的分子不能被整除的时候，可以转化成更小的计数单位后再平均分。这其实是之前异分母分数通分知識的迁移。学生在迁移知识的过程中能够多维度思考问题，通过推理活动探究不同的计算方法，有利于形成推理意识和推理能力。

【教学片段3】总结内化，提升运算能力

师：回顾今天的学习过程，我们是怎么研究分数除以整数的问题的？

生1：除法的意义本质是相同的，分数除法也是解决平均分的问题。

生2：通过分一分、涂一涂，找到了分数除以整数与整数除以整数、小数除以整数的算法上的联系——都是在平均分计数单位的个数。

生3：根据除法是乘法的逆运算，通常分数除以一个不为0的整数，都是转化为分数乘这个整数的倒数。

师：看来大家有非常多的感悟。请用今天学到的知识解“10÷100， 0.2÷3”这两道题。

生4：10÷100=10×[1100]=[110]。

生5：0.2÷3=[15]×[13]=[115]。

生6：我发现整数除以整数、小数除以整数也可以转化成分数除以整数来计算，一个数除以一个不为0的整数，可以转化成一个数乘这个整数的倒数。

生7：以前算0.2÷3，得数是除不尽的，还要写“≈”，现在可以写成分数的形式了。

......

在这节课的最后，笔者设计了两道题目，分别是整数除以整数和小数除以整数。在学习了分数除以整数的算理和算法后再来看这两道题，学生又有了新的收获，说明学生对于运算的一致性有了新的感悟。

三、生花：基于感悟运算的一致性的教学反思

1.从算式到图形，数形结合感悟算理

画图是解决数学问题时常用的方法，它可以将问题的本质从复杂的背景中抽象出来，使问题变得更加简明和直观。当学生面对比较抽象的算式时，教师可以引导学生去画一画、分一分，借助图形去探究和理解算理。如“分数除以整数”中的“ [45]÷2”这道题，如果不借助图形，那就特别抽象，学生说不出来到底应该怎么算。而借助图形，则更容易表达想法。从学生的作品中可以很直接看出是将4个[15]平均分成2份，每份就是2个[15]，即[25]。

计算分数乘法同样可以通过数形结合来解决。如[23]×[12]，可以先将长方形平均分成3份，涂色部分表示其中的2份，得到这个长方形[23]，再将这个长方形的[23]平均分成2份，每份就是[26]，约分后可得[13]（如图3）。

2.从特殊到一般，厘清运算本质

亚里士多德曾说：“思维从问题、惊讶开始。”发现问题往往是创新思维的先导，其意义绝不亚于解决问题。在教学中利用认知冲突，可促进学生积极主动地建构自己的认知结构，对于锻炼学生的思维能力，提高学生的探究能力，发展学生的创新能力，都有十分重要的意义。

首先，利用“[45]÷3，分子的4不能被3整除，怎么办呢？”引发学生的认知冲突，引导学生继续探究。学生在分一分、涂一涂中发现：原来的计数单位太小，不能整除，把计数单位变小后再平均分就可以了。那么，不论是[45]÷2，还是[45]÷3，都可以看作是平均分计数单位的问题。这样，从特殊到一般，学生能够厘清分数除以整数的运算本质。

其次，在交流算法多样性时，学生提出[45]÷2=[45]×[12]=[25]，[45]÷3=[45]×[13]=[415]。这是学生在进一步对比中发现，原来计算分数除以整数时，可以转化为分数乘法来进行计算，并且感悟到这样的运算方法更加方便。整个探究过程体现了数学的重要思想方法，即从特殊到一般的演绎推理，学生也在自主探究的过程中厘清运算的本质。

3.从旧知到新知，对比内化打通算法

结构系统的知识才能形成智慧。在学习“分数除以整数”之前，学生已拥有相应的学习经验，学生学过的整数除以整数和小数除以整数的算理与分数除以整数的算理是相通的。因此，教师将分数除以整数的教学融入整体知识中，引导学生感受数学的整体性，感悟和体验其中所蕴含的数学思想，理解数学计算的本质，进而构建知识系统。

在探究[45]÷2时，教师提出的“这是一道分数除法，但是你算的却是4÷2这样的整数除法，这样的情况在以前的学习中遇到过吗？”这一问题就是让学生联系旧知，联系以前学过的整数除法和小数除法，通过对比，找到相同点：这些运算的本质都是将计数单位的个数进行平均分，从而得到几个这样的计数单位。

由此可见，无论是哪种除法运算，都可用平均分计数单位的个数来表征。这样教学，不仅帮助学生打通算法，使学生感受到运算的一致性，不再纠结于各种运算各有各的算法，各种算法“打架”的局面。同时，通过对比也能够让学生感受到数学是一门严谨的、极具逻辑美学的学科，从而激发学生进一步学习数学的兴趣。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 巩子坤，史宁中，张丹. 义务教育数学课程标准修订的新视角：数的概念与运算的一致性[J]. 课程·教材·教法，2022，42（6）：45-51，56.

[2] 葛丽霞. 聚焦“一致性” 落实新课标：《分数加减法》单元整体教学实践[J]. 现代教育，2022（7）：50-53.

[3] 敬贺，于海杰，张立忠，等. 基于核心素养的“分数除法”单元教学设计思考 [J]. 赤峰学院学报（自然科学版）. 2022，38（7）：92-107.

（责编 金 铃）