经历表征过程 关注意义理解

黄琴 史贝贝

【摘   要】数与运算是数学教学中的重要内容之一。数概念与数运算的核心是计数单位和十进制计数法。其中，计数单位是数建构的基础，十进制计数法是计数的规则。教学“小数意义”时，用计数单位和十进制计数法统领教学，不仅能解释数的意义，打通整数与小数、分数之间的“隔断墙”，还能打通数概念与数运算的藩篱，让碎片化的知识系统化、结构化，助力学生类比迁移、互融共通等能力的提升。

【关键词】核心概念；计数单位；类比；迁移；一致性

数与运算是数学教学中的重要内容之一。《义务教育数学课程标准（2022年版）》对“数与运算”的学习提出要求：“初步体会数是对数量的抽象，感悟数的概念本质上的一致性，形成数感和符号意识；感悟数的运算以及运算之间的关系，体会数运算本质上的一致性，形成运算能力和推理意识。”数概念与数运算的核心是计数单位和十进制计数法。其中，计数单位是数建构的基础，十进制计数法是计数的规则。在“小数意义”的教学中，用计数单位和十进制计数法统领教学，可帮助学生实现数的认识与数的运算的互融互通、共生共长。

一、探寻认知基础，确定教学目标

学生对小数的意义有怎样的认知基础呢？笔者对某校四年级200名学生进行了前测，请他们画图表示1.3、0.23、0.354。前测发现，能用图将三个小数意义表示得清晰准确的学生分别占被测学生总数的64%、40%和7.5%。可见，有了三年级一位小数的学习基础，多数学生能够画图表征一位小数，但表征三位小数仍存在困难。因此，把学生原有的对一位小数的认知经验进行迁移和扩展，得到更多、更小的计数单位，并在此基础上引导他们理解计数单位之间的关系，是教学的重点所在。

基于学生的认知基础，结合用计数单位与十进制计数法统领教学的教学思路，确定本课的教学目标有以下三点。

1.从整数的表征切入，关联小数的意义，学习小数的表征方式。

2.结合画图，体验小数计数单位的产生过程，在数位讨论中，体验“十进制”扩展的必然性。

3.结合在数位顺序表上摆方块图的活动，沟通整数与小数，理解计数规则。

二、聚焦意义理解，展开教学实践

学生是学习的主体。教师要结合学生的原有认知展开教学活动，引导学生进行意义上的自主迁移。本节课中，学生要经历画图表征的过程，在对比中发现整数、小数的联系，厘清十进制计数法中计数单位产生的原理，体会数意义上的一致性。教学时还可以通过链接运算，引导学生结合计数单位与十进制计数法，感受数意义的一致性在计算过程中的体现。

（一）自主迁移，初步理解小数的意义

1.经验唤醒，说整数的意义。

师：122这个数表示什么意义？

生：1个百、2个十、2个一。

生：122个一。

生：12个十、2个一。

师：他们在说意义的时候，有什么相同点？

教师根据学生的说法小结：描述整数的意义时，要说清楚计数单位和单位的个数。

2.自主迁移，说小数的意义。

师：1.22又表示什么意义呢？你能像说整数意义一样说说它的意义吗？

生：122个0.01。

生：1个1、2个0.1、2个0.01。

教师根据学生表述把1、0.1和0.01圈出并板书“计数单位”和“个数”。

（二）画图表征，体验小数计数单位的产生

1.教师出示学习任务，请学生画图表示1.22的意义。

学生独立完成后，教师呈现部分学生的作品。（如图1）

2.教师引导学生进行交流反馈，理解两位小数的意义。

（1）明确计数单位的作用。

师：几号作品让人一眼就能看出1.22的意义？

生：①号和③号都能看出1.22表示1个1、2个0.1、2个0.01。

生：②号没有标计数单位，这幅图也可以看成122。

师：要表示清楚数的意义，一定要先确定计数单位。

（2）借助“方格图”体会计数单位0.01是怎么来的。

师：0.01这个计数单位是怎么来的呢？

生：把1平均分成10份，1份是0.1；把0.1再平均分成10份，1份就是0.01。

生：比如表示1.22，如果用1个正方形表示1，那么把1平均分成十份，每份是1个小长方形，其中2个小长方形就是0.2。把每个小长方形再平均分成10份，每份是1个小正方形，那么2个小正方形就是0.02。1、0.2和0.02合起来就是1.22。

学生一边说，教师一边结合作品③，用课件展示计数单位细分的过程。（如图2）

3.结合对比、交流，引导学生感悟整数与小数意义表征的一致性。

教师先引导学生讨论：整数与小数在表示数意义的时候有什么相同点？然后归纳小结：1.22还可以表示122个0.01或者12个0.1和2个0.01，同样一个小数，用不同的计数单位表示，计数单位的个数也会不同。同整数一样，小数也可以用“个数+计数单位”来表示。

（三）關联求同，厘清计数单位产生的原理

1.借助计数器，推算更小的计数单位。

教师呈现计数器，请学生借助计数器，说一说0.1、0.01在计数器上分别在哪里，是怎么来的，并思考，还有更小的计数单位吗？

生：十分位上的一颗珠子表示0.1，它可以看作是将个位上的1平均分成10份得来的。

教师引导学生继续结合计数器说0.01（百分位）、0.001（千分位）……的意义。

2.厘清、感知计数单位产生原理的一致性。

师：小数的计数单位也是按照“十进制”的规则产生的吗？

生：整数里相邻两个计数单位之间有满十进一、退一作十的关系，小数里面也有这样的关系。

生：一个计数器不能有两套计数规则，所以小数肯定也和整数一样，是按“十进制”的規则来计数的。

教师结合学生的描述，利用课件和板书进行梳理。（如图3）

（四）链接运算，感受数意义在计算中的体现

教师出示学习任务，请学生尝试独立计算1.22与7.8的和。学生尝试计算后出现了三种答案：9.02、2、8.3。

师：上面三种答案哪种是正确的？第二个加数中的8应该跟第一个加数中的几相加？为什么？

生：因为8表示8个0.1，所以第二个加数中的8应该跟第一个加数中十分位上的2相加。

师：为什么不与百分位上的2相加？

生：因为计数单位不一样。

教师用课件演示十分位上的“8”累加的过程。（如图4）

教师小结：小数的加减法计算就是将小数中相同计数单位上的数进行加减，小数加减法同样满足满十进一、退一作十的规则。

三、回顾与反思

当前教材中，整数、小数、分数的意义在呈现时各具特色，而以“计数单位”这一核心观念统领，可以链接所有数的意义教学，并以此形成运算教学的支架。在“小数意义”的教学实践中，教师设计学习活动，引导学生将表征整数122意义的经验自主迁移至表征小数1.22的意义上来。学生在独立思考、自主探索的过程中发现，表征整数与小数时都是用“数字+计数单位”的方式，产生的新的计数单位都与十进制有关（或者是十倍十倍地扩大，或者是十分之一十分之一地缩小）。他们的学习迁移能力应运而生，认知结构不断得到优化与完善。

小数虽然与十进分数息息相关，但其所蕴含的分数意义却是非常弱的。在理解小数意义时，十进、十分是教学的重点。从“计数单位”入手，借助形的直观性和计数规则的一致性，能够帮助学生实现对抽象的数的理解。如本课中，学生在认识小数1.22时，教师借助两大直观模型帮助他们厘清小数的意义。一是用面积模型表示1.22，通过把正方形“1”平均分成10份，每份是0.1，再把0.1平均分成10份，每份是0.01，直观感受小数计数单位产生的过程。二是在用计数器模型表示1.22时，通过两个核心问题“继续细分下去，会产生怎样的小数单位？”“为什么还是以‘十进制的规则细分？”，让学生在“不断累加、不断细分”的体验中，深刻感悟小数和整数在计数规则上的一致性。

所有数运算的算理，都离不开数意义的支撑。在加减法中，无论是整数、小数还是分数，都是将相同计数单位的数进行累加或消减。所以在教学“数的运算”之前，首先得弄清楚一个数分别是由怎样的计数单位组成的，然后才能做到把两个或多个相同计数单位上的数进行相加或相减。计数单位这个“承重墙”能够让学生真正感受到数意义与数运算本身所具有的“一致性”，帮助学生完善数概念和数运算的认知体系，促进学生思维的进阶。

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］马云鹏.聚焦核心概念   落实核心素养：《义务教育数学课程标准（2022年版）》内容结构化分析［J］.课程·教材·教法，2022，42（6）：35-44.

［3］吴正宪，张秋爽.整体把握教材   突出数概念本质：“小数的意义与性质”单元教学思考［J］.小学教学（数学版），2020（5）：25-27.

［4］巩子坤，刘萍.论数的概念与运算的一致性之三：整数运算整理、算法的一致性［J］.小学数学教师，2022（10）：77-81.

［5］孟范举，李永胜.核心概念统领下的小学数学单元整体教学改进策略研究［J］.吉林省教育学院学报，2021，37（23）：29-33.

（1.浙江省湖州市安吉县教育科学研究中心

2.浙江省湖州市安吉县紫梅小学）