“图形的旋转”的教学设计探究

李春梅 张昆

［摘  要］ “数学现实”“数学化”与“再创造”是弗赖登塔尔数学教育理论的三个重要特征，其要求把“讲数学”转换为引导学生“再创造”数学知识结构. 文章以“图形的旋转”教学为例，说明弗赖登塔尔数学教育思想的精髓.

［关键词］ 数学现实；数学化；再创造；图形的旋转

国家出台了“双减”政策，明确要求减轻学生的课业负担. 在此背景下，教师如何在不增加学生课业负担的同时，提升数学课堂教学质量呢？教师要以引领者的角色有指导地带领学生通往奇妙的数学世界，鼓励学生有意识地、不由自主地观察数学. 数学课程标准也提出，课程内容的组织与选择要以学生为主体，符合学生的认知发展水平和数学现实［1］，要引导学生经历新知识产生和发展的过程. 其中体现的教育理念与弗赖登塔尔（以下简称“弗氏”）数学教育思想相融合，本文着眼于弗氏“数学现实”“数学化”“再创造”数学教育理论与实际课堂教学的结合，探究如何进行教学设计以及课堂教学活动的展开，目的是促使学生成为数学课堂的主人，同时避免依靠“题海战术”提高学习成绩，减轻学生的数学课业负担.

弗赖登塔尔数学教育理论概述

弗赖登塔尔在数学、数学教育方面都做出了极大的贡献，对荷兰乃至当今世界都有着深远的影响. 他在中国短短几个月的讲学，为我国的数学教育注入了新鲜的血液，打开了数学教育领域的另一扇门. 其教育思想、观念极大地启发了当时的数学教育工作者，被学者们所钻研、探究. 弗氏倡导的数学教育观是把“教”转换为“学”，把教师的教学活动转换为学生的学习活动，把“讲数学”转换为“创造数学”［2］. 张奠宙先生将弗氏数学教育理论归结为“数学现实”“数学化”与“再创造”三个特征［3］，这就为教师开展课堂教学活动奠定了重要的理论基础，同时改进了传统数学课堂“灌输式”“被动式”的教学模式.

1. 数学现实

“数学现实”是指学生已有的数学概念、方法等对客观世界现实情况的认识而形成的认知结构. 弗氏认为数学教育应该为不同的人提供适合不同专长所需要的数学现实，使其能够运用自如地解决有关的数学问题［3］. 数学源于现实、寓于现实，并用于现实，即现实的数学. 所以，数学学习应当从学生已有的生活现实、数学现实出发，在已有的认知基础上将生活中的问题抽象成数学问题，并加以解决.

2. 数学化

弗氏说道，与其说让学生学习数学，还不如说让学生学习数学化［4］. “数学化”是指运用数学思想和方法研究现实生活中的各种具体情境，从情境中抽象出数学问题，并加以整理、分析与解决的过程. “数学化”包括两方面，即横向数学化与纵向数学化，横向数学化是将现实问题转化为数学问题，再对其进行抽象形成概念或公理体系，完成纵向数学化.

3. 再创造

“再创造”与杜威的“做中学”是相通的，弗氏认为数学学习需经历“抽象化”的过程，即“做中学”中“做”的过程，将学习者看作创造主体，主动参与知识生成过程，同时在教师的指导下进行再创造. “再创造”常被译为发现或是再发现，但又不等同于“发现法”. “再创造”不仅是一种教学方法，还是一项教学原则，是任何数学知识的教学活动都可以得到的抽象的方法；“发现法”则是教学中的一种具体方法，着重教师提前设计好一个个问题，引导学生逐步发现、探索，但在这个过程中教师施教稍有不慎可能会导致学生走向被动［5］.

下面简要探讨“数学现实”“数学化”与“再创造”三者之间的关系（如图1所示）. 在数学教学中，三者是相互依存、紧密联系的整体. 首先，“数学现实”是进行数学活动的背景，是“数学化”的基础和前提，为进行“数学化”提供现实材料；其次，“数学化”与“再创造”相互促进，在学生做数学、动手实践的过程中达到“再创造”的目的，即透过横向数学化和纵向数学化的视角解释“再创造”的过程；最后，通过对知识的“再创造”，又反作用于“数学化”的进行，完成纵向的“数学化”. 总之，可以说“再创造”是“数学化”的有效方法和手段.

基于弗赖登塔尔数学教学思想的“图形的旋转”教学设计案例

弗氏認为数学课堂教学的主、客观基础来自数学知识形成过程的本身和学生所拥有的数学现实及智力活动，学习者在处理、加工数学化信息的过程中，凭借自己的数学现实、认知结构与思维方式，再创造出具体的数学知识，如此，数学教学须依据“再创造”的途径展开，这既是扩展客观的数学知识结构需求，也是扩充学生产生数学认知过程的心理结构需求［6］.

下面以“图形的旋转”教学为例，力求尽可能体现弗氏“数学现实”“数学化”与“再创造”数学教学思想的精髓.

“图形的旋转”是沪科版九年级下册第一章第一节的内容，虽然学生在小学阶段已经接触过旋转，但对于旋转只是初步认识. 现在要求学生能由具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转，并探索其基本性质［1］. 学习“旋转”，能促进学生体验到数学与现实生活息息相关，能调动他们的探究欲望. 如果教师只是平平无奇地向学生讲授旋转及其性质，没有让学生经历知识的萌生、发现、形成过程，那么知识只停留在学生从短时记忆进入长时记忆的“中途”，没能在学生的头脑中留下深刻的记忆，数学课堂教学的有效性也就无法实现. 因此，教师要将“数学现实”“数学化”与“再创造”教学思想渗透进“图形的旋转”教学中，让学生经历横向数学化和纵向数学化两个阶段，即“横向”应用日常生活中与旋转有关的实例，“纵向”引导学生一步步经历抽象几何图形并形成概念的过程，从而在这一过程中探索出旋转的性质，达到“再创造”的目的.

【环节一】创设现实情境：生活中物体的旋转——数学现实

教师通过多媒体向学生展示日常生活中常见的有关旋转的实例，如玩具风车、自行车车轮以及时钟的转动（如图2所示），这些都是学生平时所能接触到的物体的旋转，能帮助他们感受到数学无处不在.

师：同学们还能想到生活中其他与旋转有关的例子吗？（引导学生思考）

生1：我知道！游乐园中摩天轮的转动，以及电风扇的转动.

生2：还有汽车方向盘的转动、指南针……

生3：原来我们生活中有这么多与旋转相关的物体呀！

设计意图从学生的生活现实、已有的认知结构出发，创设良好的环境状态，激发学生的情感动机，让学生真切感悟到数学与现实生活是自然贴合、密切联系的，即“现实的数学”. 于学生而言，呈现生活中的情境，把生活中的问题“现实化”，能帮助他们在头脑中建立新问题与已有认知结构之间的联系.

【环节二】抽象出图形的旋转——数学化

小学阶段学生只是了解到一些物体绕着一个点顺时针或逆时针运动的现象是旋转，现在教师要引导学生抽象现实世界中几何图形的旋转，通过观察具体实例来认识旋转，并探索其性质.

师：通过这些同学的回答，大家有没有发现这些图形的运动有什么共同特点？它们是怎样转动的？

生4：它们都是围绕一个点运动的.

生5：它们是逆时针或顺时针绕着一个点转动一个角度.

师：你们观察得很仔细！那根据生4和生5的观点，你们可以尝试着给旋转下一个定义吗？

生6：一个图形绕着一个定点O转动一个角度θ，得到另一个图形的变换就是旋转.

师：你们认为这个同学说的有道理吗？

生（齐）：有道理.

师：对，这位同学说得非常好. 我们把其中的定点O称为旋转中心，θ称为旋转角度.

师：从上面的具体实例中我们认识了旋转，再继续观察，要描述图形的旋转，我们需要关注哪些要点？我们任意画一个△ABC，把它绕着点A旋转60°，会得到怎样的结果？

生7：因为旋转方向不确定，所以我画出了两个不同位置的三角形（如图3所示）.

师：那把△ABC绕着它的顶点顺时针旋转60°，会得到怎样的结果？

生8：因为旋转中心不确定，所以我画出了不同位置的三角形（如图4所示）.

师：把△ABC绕点A顺时针旋转，又会得到怎样的结果？

生9：因为旋转角度不确定，所以可以画出无数个三角形.

师：那怎样才能使旋转后的图形唯一确定呢？

生10：把△ABC绕点A顺时针旋转60°，这样就能画出唯一的三角形了（如图5所示），所以要确定旋转中心、旋转方向与旋转角度.

师：非常好！旋转的这三个要素缺一不可，这样才能让旋转后的图形“唯一确定”.

师：那旋转后的图形与原图形有何关系呢？

设计意图创造合适的问题串情境，促使学生积极投入解决问题的氛围中，经历由生活实物旋转到数学图形旋转的抽象化过程，这样的设计符合当前知识阶段的图形转化促使横向数学化的发生. 接着从中抽象出旋转的本质属性，获得旋转概念，并借助“问题串”，在理解旋转概念的同时，明晰“唯一确定性”，从而理解旋转的三要素，完成纵向的数学化. 最后，由此引起的疑问为学生提供了探究旋转性质的动机.

【环节三】知识的生成：旋转的性质——再创造

师：其实研究旋转前、后两个图形的关系就是研究旋转的性质. 那图形旋转具体有哪些性质？

生：……（思维暂时中断）

师：我们学习平移、轴对称的性质时，是从哪些角度进行探究的？（通过这样的类比启发学生，指引学生找到明确的方向）

生11：可以从点、角和线段出发.

师：生11的思维很敏捷！研究旋转的性质就是研究这些对应点、对应角、对应线段之间的关系，研究它们在形状、大小和位置方面有何变化. 下面我们一起观察△ABC旋转的过程（如图6所示）. △ABC绕点O顺时针旋转后得到△A′B′C′，旋转后得到的△A′B′C′与原△ABC有何关系？OA与OA′、OB与OB′、OC与OC′，以及∠AOA′，∠BOB′，∠COC′分别有什么数量关系？

生12：△ABC和△A′B′C′的形状和大小都相同，所以△ABC≌△A′B′C′；∠AOA′，∠BOB′，∠COC′都等于旋转角，所以∠AOA′=∠BOB′=∠COC′；OA与OA′、OB与OB′、OC与OC′的长度也分别相等.

学生利用类比思想方法，探究出了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角；旋转中心是唯一不动的点.

设计意图教师鼓励学生动手操作三角形旋转的全过程，又适当启发学生采用类比思想方法，促使学生获得真实有效的数学化信息，调动学生的主观能动性，找出对应点、对应角、对应线段之间的关系，最终探究出旋转的性质. 在这一教学环节，教师引导学生自主探究，在“再创造”中得到旋转的性质，充分发挥了学生的主体地位，学生也在此过程中经历了知识的生成过程.

结束语

“图形的旋转”教学过程契合弗氏数学教育理论. 上述案例，从环节一“创设现实情境”，引起学生共鸣；过渡到环节二“抽象出图形的旋转（即抽象出数学概念）”，学生经历了由生活实物旋转到数学图形旋转的抽象化过程，获得了旋转的概念，并理解了旋转的三要素；最后过渡到环节三“知识的生成”，学生在“再创造”中探究出了旋转的性质. 教师进行教学设计的首要任务是充分利用学生的“数学现实”，从学生当前的数学现实出发，有选择地向学生提供横向数学化的合适信息，在教师的指导下，学生组织、探究信息，并进行整合，生成数学知识结构，以达到“再创造”的目的，同时为纵向的数学化提供方法和手段. 简而言之，数学学习过程就是基于学习者已有的数学知识、领悟与经验而生成的“再创造”过程［5］. 这个探索过程，不仅能冲破学生思维的消极定式，还能启发学生“再创造”建构新的数学知识结构，从而促进学生的发展.

參考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022年版）［M］. 北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］吴开朗，朱茱，许梦日. 论汉斯·弗赖登塔尔的数学教育观［J］. 数学教育学报，1995（03）：17-21.

［3］张奠宙. 数学教育学［M］. 南昌：江西教育出版社，1991.

［4］弗赖登塔尔. 作为教育任务的数学［M］. 陈昌平，唐瑞芬，等译. 上海：上海教育出版社，1995.

［5］张昆. 指向以学定教的数学教学设计示例——透过弗赖登塔尔的数学“再创造”教学思想的视点［J］. 中学数学，2018（12）：61-64.

［6］张昆. 实现数学课堂教学有效性的思考——透过弗赖登塔尔的数学“再创造”教学原则的视点［J］.数学教学通讯，2020（09）：5-7.