初等行变换求齐次线性方程组通解的教学探讨

尹江华 马国栋

摘 要：求齐次线性方程组的通解在“线性代数”与“高等代数”的教学中占据着重要地位。教材的解法是利用初等行变换，将系数矩阵化为行阶梯形矩阵，从而确定基本未知量和自由未知量，然后根据行阶梯形矩阵写出对应的齐次线性方程组，并用自由未知量表示基本未知量，从而得到齐次线性方程组的通解。本文通过利用初等行变换将系数矩阵化为行最简形矩阵，直接产生基础解系，进而获得齐次线性方程组的通解。

关键词：初等行变换；齐次线性方程组；通解；行最简形

Teaching Exploration on Solving Homogeneous Linear

Equations by Elementary Row Transformation

Yin Jianghua Ma Guodong*

College of Mathematics and Physics，Guangxi Minzu University GuangxiNanning 530006

Abstract：Finding the general solution of homogeneous linear equations plays an important role in the teaching of Linear Algebra and Advanced Algebra.The solution of the textbook is to convert the coefficient matrix into the row echelon matrix by using elementary row transformation.It follows that one can determine the basic and free unknowns，and then write the corresponding homogeneous linear equations according to the row echelon matrix.Finally，using the free unknowns to express the basic ones yields the general solution of the homogeneous linear equations.In this paper，the coefficient matrix is transformed into its row simplest form by the elementary row transformation，and thus the fundamental solution system is generated directly.Therefore，the general solution of homogeneous linear equations is obtained quickly.

Keywords：elementary row transformation；homogeneous linear equations；general solution；row simplest form of matrix

1 概述

無论是在“线性代数”，还是在“高等代数”的教学和学习中，初等变换都是非常重要的工具和方法，初等变换包括初等行变换和初等列变换。为了学生在学习过程中不出现混淆，初等行变换是在教学中使用最多的方法。初等行变换有很多重要应用，如求两个多项式的最大公因式［1］、求矩阵的秩与逆矩阵、求向量组的极大无关组与秩、求一个n维向量由一组向量线性表出的表达式、判定向量组的线性相关性、判定线性方程组和矩阵方程是否有解等。

另一方面，线性方程组的求解是学习“线性代数”和“高等代数”的重点和难点，其包括齐次线性方程组的求解和非齐次线性方程组的求解，齐次线性方程组的求解是求解非齐次线性方程组的基础。对于一般的齐次线性方程组，常采用初等行变换进行求解，其基本求解过程是：将齐次线性方程组的系数矩阵通过初等行变换化为行阶梯形矩阵，由此确定基本未知量和自由未知量，然后根据所得行阶梯形矩阵写出对应的齐次线性方程组，并用自由未知量表示基本未知量，进而得到齐次线性方程组的基础解系，从而根据基础解系写出齐次线性方程组的通解。显然，该求解过程需要根据行阶梯形矩阵再次写出相应的齐次线性方程组。本文尝试利用初等行变换实现齐次线性方程组的快速求解。这里的“快速”意味着不需要根据行阶梯形矩阵写出相应的齐次线性方程组，而通过将行阶梯形矩阵进一步化为行最简形矩阵，从而直接产生基础解系，进而获得齐次线性方程组的通解。

2 预备知识

定义1［23］：形如a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1，

a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2，

…………

am1x1+am2x2+…+amnxn=bm的方程组称为线性方程组，其中x1，…，xn表示n个未知量，m是方程的个数，aij（i=1，…，m，j=1，…，n）称为方程组的系数，bi（i=1，…，m）称为常数项。常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组，否则称为非齐次线性方程组。

设齐次线性方程组为a11x1+a12x2+…+a1nxn=0，

a21x1+a22x2+…+a2nxn=0，

…………

am1x1+am2x2+…+amnxn=0.

令A=a11a12…a1n

a21a22…a2n

am1am2…amn，x=x1

x2

xn，则上述齐次线性方程组等价于Ax=0。下面给出行阶梯形矩阵和行最简形矩阵的定义。

定义2［23］：若矩阵满足：（1）可画出一条阶梯线，线的下方全为零；（2）每个台阶只有一行非零行；（3）阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素（首非零元），则称这样的矩阵为行阶梯形矩阵。

注意：在行阶梯形矩阵中，全零行应位于所有非零行的下方。

定义3［23］：若行阶梯形矩阵满足：（1）非零行的首非零元为1；（2）首非零元所在的列的其他元素都為零，则称其为行最简形矩阵。

其中A和B为行阶梯形矩阵，C为行最简形矩阵，而D不是行阶梯形矩阵。

下面有关基本未知量和自由未知量的定义取自参考文献［2］和文献［3］。

定义4：设齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵A经一系列初等行变换化为行阶梯形矩阵B，则矩阵B中各非零行的首非零元所在的列对应的未知量称为基本未知量，其余未知量称为自由未知量。

例如，齐次线性方程组x1－x2+x3+2x4=0，

2x1－2x2+3x3－4x4=0的系数矩阵A=1－112

2－23－4经一次初等行变换化为B=1－112

001－8，则x1，x3为基本未知量，而x2，x4为自由未知量。

与非齐次线性方程组不同，齐次线性方程组一定有零解，本文仅考虑齐次线性方程组有非零解的情形。

命题1［23］：齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是r（A）

3 利用初等行变换快速获得齐次线性方程组的通解

根据命题1，在齐次线性方程组有非零解的情况下，求其通解的关键在于基础解系的计算。下面通过具体例子阐述如何利用初等行变换快速获得齐次线性方程组的通解。

例1 试求下列齐次线性方程组的通解：

x1－x2+x3+2x4=0，

2x1－2x2+3x3－4x4=0.

为了找到基础解系中解向量与行最简形矩阵的关系，首先按照教材中的做法求解上述方程组，然后总结规律，进而获得求解齐次线性方程组通解的快速方法。

解：对系数矩阵A进行初等行变换：

A=1－112

2－23－4r2－2r11－112

001－8.

故基本未知量为x1和x3，自由未知量为x2和x4写出行阶梯形矩阵对应的线性方程组：

x1－x2+x3+2x4=0，

x3－8x4=0.（1）

于是，

x1=x2－10x4，

x3=8x4.（2）

取x2

x4=1

0，0

1，则基础解系为：

ξ1=1

1

0

0，ξ2=－10

0

8

1.（3）

从而通解为x=c1ξ1+c2ξ2，其中c1和c2为任意常数。

总结：方程组（2）等价于：

x1－x2+10x4=0，

x3－8x4=0.（4）

将方程组（1）化为（4），相当于将上述行阶梯形矩阵通过初等行变换进一步化为行最简形矩阵：

Ar2－2r11－112

001－8r1－r21－1010

001－8.

ξ1可这样得到：取x2

x4=1

0，即ξ1=1

0，对比（3）式和上述行最简形矩阵知，ξ1缺失的两个分量（即基本未知量所在的位置）恰好是行最简形矩阵中与x2对应列的相反数，并按从上至下的顺序依次填补ξ1缺失的分量。于是ξ1=1

1

0

0，类似，ξ2可这样得到：取x2

x4=0

1，即ξ2=0

1，ξ2缺失的两个分量恰好是行最简形矩阵中与x4对应列的相反数，并按从上至下的顺序依次填补ξ2缺失的分量。

下面给出利用初等行变换求齐次线性方程组Ax=0通解的基本步骤。

第一步：将系数矩阵A通过初等行变换化为行最简形矩阵；

第二步：确定基本未知量和自由未知量，而自由未知量的个数=基础解系中解向量的个数；

第三步：基础解系中的解向量是通过在自由未知量的位置依次选取其中一个为1，而其余位置取0；基本未知量的位置恰好是取值为1的自由未知量在行最简形矩阵中所对应列的相反数，并按从上往下的顺序依次填入基本未知量所在的位置。从而得到基础解系并给出通解［自由未知量个数=n-r（A）=通解中任意常数的个数］。

4 应用实例

下面通过三个具体例子，验证上述方法的有效性。

例2 试求下列齐次线性方程组的通解：

3x1+2x2－5x3+4x4=0，

3x1－x2+3x3－3x4=0，

3x1+5x2－13x3+11x4=0.

解 对系数矩阵A进行初等行变换：

A=32－54

3－13－3

35－1311r1019－29

01－8373

0000.

故基本未知量为x1和x2，自由未知量为x3和x4，于是，基础解系为ξ1=－19

83

1

0，ξ2=29

－73

0

1.

故通解为x=c1ξ1+c2ξ2，其中c1和c2为任意常数。

例3 试求下列齐次线性方程的通解：

2x1－3x2+x3+2x6=0.

解：对系数矩阵A进行初等行变换：

A=（2－31002）12r1（1－3212001）.

因此，基本未知量为x1，而自由未知量为x2，x3，x4，x5和x6，于是，基础解系为：

ξ1=32

1

0

0

0

0，ξ2=－12

0

1

0

0

0，ξ3=0

0

0

1

0

0，ξ4=0

0

0

0

1

0，ξ5=－1

0

0

0

0

1.

故通解为x=c1ξ1+c2ξ2+c3ξ3+c4ξ4+c5ξ5，其中c1，c2，c3，c4和c5为任意常数。

例4 试求下列齐次线性方程组的通解：

x1－x2+2x3+x5－2x6=0，

2x1－2x2+4x3+x4－x6=0.

解：对系数矩阵A进行初等行变换：

A=1－1201－2

2－2410－1r2－2r11－1201－2

0 001－23.

因此，基本未知量为x1和x4，自由未知量为x2，x3，x5和x6，由此可得基础解系：

ξ1=1

1

0

0

0

0，ξ2=－2

0

1

0

0

0，ξ3=－1

0

0

2

1

0，ξ4=2

0

0

－3

0

1.

故通解为x=c1ξ1+c2ξ2+c3ξ3+c4ξ4，其中c1，c2，c3和c4为任意常数。

利用上述规律求解齐次线性方程组减少了烦琐的还原方程组的步骤，起到了事半功倍的作用。同时，对于初学者而言，这能极大地增加学习“线性代数”或“高等代数”的成就感和学习兴趣。

结语

讲解“线性代数”或“高等代数”的过程中，在传授基本知识与理论的基础上，培养学生分析、总结并发现规律的能力是重要的，这有助于培养学生学习数学的兴趣，提高学生分析问题、解决问题的能力。利用本文的思想方法，探讨如何利用初等行变换快速获得非齐次线性方程组的通解是有意义的。

参考文献：

［1］王文省，姚忠平，钟红心.初等变换的思想方法在高等代数中的应用［J］.聊城师院学报（自然科学版），2000（3）：7678.

［2］北京大学数学系前代数小组编.王萼芳，石生明修订.高等代数（第五版）［M］.北京：高等教育出版社，2020.

［3］同济大学数学系编.工程数学线性代数（第六版）［M］.北京：高等教育出版社，2014.

基金项目：广西高等教育本科教学改革工程项目（2022JGA175）；广西民族大学校级引进人才科研启动项目（2022KJQD03）；广西高校中青年教师科研基础能力提升项目（2023KY0168）

作者簡介：尹江华（1989— ），男，湖南邵阳人，博士，讲师，硕士生导师，研究方向：最优化方法及其应用。

*通讯作者：马国栋（1983— ），男，湖南邵阳人，博士，副教授，硕士生导师，研究方向：最优化方法及其应用。