结构化视域下的小学数学延学作业设计

钱建兵

（本文系江苏省教育规划“十三五”立项课题“促进理解的小学数学结构化学习的实践研究”（编号：D/2020/02/138）研究成果。）

摘要：结合新课标教学内容结构化的要求，作业作为课堂教学的延续，内容上要關注数学本质，用结构化的思维，设计作业内容。以学习意义定义作业，让学生通过作业，经历再补充、再发现、再总结的过程，促进认知结构的优化，培养学习力，彰显学生的学习主体性。遵循主体普适性、目标一致性、功能承载性等原则，从关联、整体、整合等策略，设计结构化视域下的小学数学延学作业。

关键词：作业设计  结构化   延学

美国当代著名教育心理学家布鲁纳在他的《教育过程》中明确提出了学科结构论的课程论和教学论思想。他认为学习的目的在于以发现学习的方式，使学科的基本结构转变为学生头脑中的认知结构。课程标准（2022版）指出，为实现核心素养导向的目标，“要重视对教学内容的整体分析，帮助学生建立能体现数学学科本质、对未来学习有支撑意义的结构化的数学知识体系。”[1]作业是体现学生主体性的一种发现学习方式，是课堂教学的延续与补充、拓展与深入。因此，在进行作业设计时，要彰显作业的“学习意义”，从结构化的视角延续课堂学习，让学生在作业的过程中自主完善优化认知结构，促进学生对核心概念的深入理解，从而理解学科的基本原理。

一、结构化视域下的延学作业概念界定

在数学学习中，学生的认知结构主要是在学习活动中形成的，包括课堂教学与课外学习，亦包含教师引导与自主建构。是学生以积极主动的心理取向，将教材知识体系（具有逻辑结构的学科知识），转化为个体知识结构的过程。但仅仅依靠课堂教学与教材，构建起的认知结构是不完整的。这主要缘于学习的复杂性。班级授课制在效率最大化的同时，必定无法兼顾个体在学习风格、知识基础、思维特点等方面的差异，很难做到对知识的深度理解与知识体系的完全建构。再次是教材在组织时，作为实施学习的基本单位，课时教学必将在一定程度上肢解知识的整体性。教材也并不是完全按知识的逻辑体系构建的，经过教学法的改造，并不能兼顾不同层次学习能力、不同经验、知识背景的学生构建知识体系时，存在的不同差异与困难。

作业是认知结构自主建构与反思的重要手段。结构化视域下的延学作业，从知识之间的联系（整体）出发设计习题，以更高的视角引导学生反思当下的学习内容，将作业作为课堂学习的进一步延伸，充分发挥学生在作业过程的自主建构作用，让学生在作业中促进认知结构二次构建，在作业中寻找并理解知识之间内在关联的思想方法和内隐逻辑，实现对概念、技能、思想方法的深刻理解。作业不是课堂教学建构起来的知识体系的再重复，而是一个新的再建构，是概念之间的打通，方法的升华，思想的提炼，是知识的体系化与优化，形成对核心概念的再升华，从而达到深度理解。在二次建构并完善其认知结构学习过程中形成数学核心素养，也就是说在将数学学科知识结构转变为学生认知结构的过程中，形成学生的核心素养。

结构化视域下的延学作业并不是虚化基础概念、基本技能等的而突出整体，而是在结构中去把握各知识点，从而使作业可以更加有弹性地处理、分配处于不同地位知识点的教学用力，突出核心知识、核心概念、基本思想、基本模型的重要地位。

二、结构化视域下的延学作业价值内涵

结构化视域下的延学作业强调课堂教学的“自延”，是再学习、再补充；让学生经历“自研”的过程——体现学生的主体建构，是再发现；让学生在“自言”的过程中自省悟透，通过自省，反思等内部言语的活动过程，进行再总结。从而使课堂教学建构的知识更加系统化，形成纵横交错的体系，知识的存储更有条理与富有逻辑。结构化视域下的延学作业价值具有如下价值。

1.提升学习力

学习力是衡量学生学会学习的重要指标，瞿静指出：“学习力是在有目的的学习过程中，以听、说、读、写、交流等渠道获得知识技能的学习为基础，通过实践、体验、反思、环境影响等途径进行的学习力提升，达到产生新思维、新行为的学习效果为目的的动态能力系统。”[2]作业结构化视域下的延学作业，通过教师精心设计的习题，与课堂教学相辅相成，新旧知识之间形成的一种张力，为学生提供了比课堂教学更独立自主的探究、实践、体验、反思的空间。不管是进行知识之间的纵、横梳理，还是自我反思总结形成核心知识、方法、思想，或是独立完成“做数学”，都将是对学生学习能力的一次次历练。同时，与一般的作业不同，结构化视域下的延学作业阅读量也比较大，综合性较强，方法要自主归纳，提炼，视野更宽，这些都利于学生进一步理解数学的表达形式，增加对数学的理解，从而提升学生的数学素养。

案例1：最大公因数与最小公倍数中的奥秘

作业：最大公因数与最小公倍数的乘积

两人玩一个游戏：两人各说出一个数写在纸上，对方算出这两个数的最大公因数与最小公倍数的乘积，自己算出这两个数的乘积，再比比两个积的大小。

再玩几次，可以交换角色。你们发现了什么？

【设计意图】延续了课堂教学，不仅仅是发现两个数最大公因数与最小公倍数之间的关系，培养学生发现、总结、表达规律的能力，更在于将最大公因数与最小公倍数的相关知识与两个数的乘积进行关联，体会知识之间的联系。为什么会有这样的联系，也在学生心中埋下了进一步探究的种子，打开了进一步探究的空间，学习由自主到自发成为可能。

2.促进认知结构的再建构

课堂教学受时间的限制，课时安排的教学内容比较紧凑，规定时间内要理解概念，还要形成一定的技能。“部分——部分——整体”的编写和教学模式人为地将知识分解成若干个小的部分，割裂了知识之间的联系，大量的重复练习更加剧了知识之间的相互封闭，学生获得的知识大部都是一些“散装”的内容，没有形成具有普遍联系和广泛迁移力的数学知识结构。因此，知识之间形成网络，不同领域进行学科融合，特别是将课堂所学放在更高的视角去理解，必定需要通过作业将课堂延伸至课外。结构化视域下的延学作业以核心知识组织、串联，将各部分之间构成有机整体，小的结构不断纳入更大的结构中，形成深刻理解。以整体与关联为总指导，聚焦核心知识在构建起认知结构中的关键作用，以基本原理、基本关系、基本方法，架构知识体系的“承重墙”。

案例2：分数加减与小数加减的算理一致性

作业：分数加、减法与小数加、减法比较

＋ =（    ）个 ＋（    ）个 =（    ）个 ；

－ =（    ）个 －（    ）个 =（    ）个

异分母分数加、减法，要通分成同分母相加、减，是因为（       ）。

计算小数6.42＋1.5时，可以这样思考：6.4＋1.5=（   ）个一＋（    ）个一＋（   ）个0.1＋（   ）个0.1＋（   ）个0.01

小数加法要把小数点对齐，是因为（     ）。

比较小数加减法与分数加减法，我发现了：

【设计意图】这如何让学生体会分数加减法与小数加减法计算算理的一致性？计算小数加减法把小数点对齐，异分母分数加减先通分，这些是算法，其背后的道理是相同计数单位相加减。通过用横式表达的算理，学生比较容易看出算理的一致。

3. 凸显学生的学习主体地位

认知结构的二次建构是以思维能力的培养去带动整体构建，学生思维能力更多的是体现在寻找联系、构建整体及类比迁移的过程中，这个过程的主体应该是学生，是学生的自主建构，是不断促进学生主体性提升的。二次建构过程中的没有课堂建构中的“替代现象”，是富有个性的学生个体的探索领悟的行动。

案例3：用整数、分数表示关系

作业：分数的意义

小明拿来蓝、红、黄三种颜色的彩带，对应着写数：1、3、 。你知道这三个数表示的意思吗？

问题1：任选一根彩带的长度记作1，其它两种颜色的彩带的长度可以怎么表示？

问题2：如果三根彩带的长度分别乘以2，你所选彩带长度还可以记作1吗？如果记作1，其它两种颜色的彩带可以记作多少？

【设计意图】这此题主要是让学生进一步理解分数作为“两个量之间关系”意义的理解，进而沟通整数可用“几倍”表示关系之间的联系，体会分数与整数之间的一致性。问题2给学生自主选择的权利，有利于学生学会用数表达关系，也是一种抽象能力的培养，培养学生的数感、符号意识等数学素养。

案例4：自主编写延学作业

作业：分数实际问题复习

在下面的括号里填上一个数量，然后根据线段图（图2），编题。你能编几题？

题1：

题2：

题3：

……

【设计意图】根据线段图表示的关系，可以选择用分数、百分数、比等形式表达，沟通了分数、比、除法之间的联系。题中另一个条件的确定，题材的选择，则给学生更大的自主选择权，有利于发挥学生作业的主体性，开放的题目有利于学生用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维分析实际问题。

作业不仅是复习与回顾，更是一种高效的深度学习。因此，结构化视域下的延学作业，摈弃低效重复记忆为主的作业，将相关内容进行结构化整合，在反思中促进学生对知识的整体理解，全面改变对数学的认知，让“双减”得以落地。

三、结构化视域下的延学作业原则与策略

探究拓展性作业设计要尽可能贴近学生的现实，以利于学生从情境中抽象出数学知识与方法的过程，发展抽象、推理等能力。结构化视域下的延学作业的设计，还应遵循以下原则。

（一）原则

1.数学作业设计的主体普适性原则

所谓主体普适性原则，就是延学作业设计要与课堂教学相辅相成。从难易程度上讲，应该是面向全体学生的，应遵循课程标准中各学段教学要求，可以设置过渡性问题，让不同层次的学生都能有所收获。虽然说“如果给学生提供适当的学习经验和对知識结构的合适陈述，即便是年幼儿童也能学习高级的知识，从而缩小初级知识和高级知识之间的差距”，但不能任意拔高超前，以加深理解、完善认知结构、培养思维、生成素养为目的。在作业量上，应遵循“五项管理”的相关要求，延学作业自主研究的花的时间比较多，并且不同水平的学生所用的时间也相差会较大。另外，作业设计要尽可能激发学生延学的兴趣，要避免学生产生消极抵触的情绪。

案例5：三棱柱的体积

作业：长方体、正方体与三棱柱的体积

图3、图4都是我们已学过的立体图形，图5是一个底面为直角三角形、侧面由三个长方形围成的立体图形，我们称它为三棱柱。

（1）回顾已有知识：S长方体底面=（      ），V长方体=（      ）；S正方体=（    ）

（2）发现共同规律：V=（     ）

（3）推测新的发现：两个完全一样的直角三角形可以拼成一个（    ），想一想两个完成一样的三棱柱可以拼成一个（      ），由此推测V三棱柱=（    ）。

（4）尝试解决问题：根据你的发现，求得三棱柱（图5）的体积是（    ）立方厘米。

【设计意图】这是在长方形、正方体体积教学计算之后，利用平面图形面积计算中转化的方法，将三棱柱转化为长方体，从而推导出三棱柱的体积，体会体积公式之间的统一。这4个层次的问题，逐步帮助学生归纳、推导，从而得出三种立体图形的统一计算公式。又将平面图形中的转化方法迁移运用到立体图形之中。

2.数学作业设计的目标一致性原则

教学目标是教学的灵魂。延学作业是课堂教学之后的学习过程，与课堂教学共同达成教学目标。因此，延学作业与课堂教学之间的教学目标具有统一一致性，更要体现对堂教学目标互补作用上。课程标准2022版指出，要重视单元整体教学设计，“改变过于注重课时为单位的教学设计，推进单元整体教学设计，体现数学知识之间的内在逻辑关系。”[3]因为延学作业，可以跳出了课堂教学，可以基于课标，瞻前顾后，把握知识的前后关联，兼顾单元目标、课时目标一致。

案例6：分数的意义之“量”“率”比较

作业：分数的大小比较

①两根一样长的绳子，第一根用去 ，第二根用去 ，谁剩下的长一些？

②两根一样长的绳子，第一根用去 米，第二根用去 ，谁剩下的长一些？

③两根绳子，第一根用去 ，第二根用去 ，谁剩下的长一些？

④两根一样长的绳子，第一根用去 ，第二根用去 ，谁剩下的长一些？

⑤两根一米长的绳子，第一根用去 ，第二根用去 米，谁剩下的长一些？

【设计意图】分数的意义教学之后，单位“1”的理解是关键。此作业以对比的形式，让学生进一步在具体情境中，强调单位“1”对分数意义的重要性，增强对单位“1”的理解，解决了学生在课堂教学中“分率”与“具体量”不能区分的疑惑，从而加深对分数意义的理解。

3.数学作业设计的功能承载性原则

课堂教学承载着育人的功能，延学作业不仅是在知识层面上延续课堂教学，也延续课堂教学的育人功能。作业题材的选择，到作业情境的设置，可为学生提供广泛的教育资源与空间。作业作为育人的重要载体，在价值观上延续课堂教学，把社会主义先进文化、革命文化、中华优秀传统文化、数学文化、数学发展前沿等融入其中。应该说，功能承载性比教材更有作为，更为灵活，作业形式上多种多样，学科融合，要体现“五育并举”的育人要求，培养学生对數学的积极情感、态度。

案例7：传统数学文化进作业——出入相补原理

作业：三角形、梯形面积的推导

出入相补原理是我国古代数学的代表性成就。利用此原理，可以推导出所有直边图形的面积计算公式。

①我国古代数学名著《九章算术》中记载了三角形面积的计算方法，著名数学家刘徽在注文中用“以盈补虚”的方法（如图6）加以说明。从图中可以看出：

三角形是如何转化为长方形的？试着剪一剪，拼一拼。

三角形转化成长方形后，长方形的长=（     ），长方形的宽=（      ）。

长方形的面积=长×宽，三角形的面积=（      ）

②试着用这个原理将梯形转化为长方形，并推导出面积计算公式。

【设计意图】以传统数学文化为题材，并利用此原理深入思维层面，进一步延续了课堂教学中的转化的思想方法，同时又体验到我国古代人民在数学上取得的成就，拓宽了视野，增强了民族自豪感。

（二）策略

结构化视域下的延学作业是课堂教学的延续，因此，在进行设计时要紧紧围绕课堂教学的内容，通过作业，使课堂教学走向深入，更有宽度，更具有融合性。可以从如下几个方面设计延学习题。

1.关联策略

学习结构就是学习事物是怎样相互关联的。数学概念具有很强的可迁移性，这种可迁移性是缘于数学概念、体系在发展过程中，始终以相同的方法、原理、关系、问题，贯穿前后，从而实现相关数学概念之间本质的一致性。这些方法、原理、关系、问题，是数学知识如何关联成为整体的核心。如“计数单位”的概念不仅是数认识过程中的核心概念，同时也是计算算理理解的核心，“计数单位”将数的认识与运算成为一个整体。在数的认识与运算中，围绕“计数单位”设计作业，延展课堂，促进学生对所学知识的深度理解。

案例8：探究余数的秘密。

作业：2、5的倍数特征为什么只看个位

15÷2=（10+5）÷2=10÷2+5÷2，

317÷2=（300+10+7）÷2=300÷2+10÷2+7÷2，

1316÷2=（1000+300+10+6）÷2=1000÷2+300÷2+10÷2+6÷2，

我发现：一个数除以2的余数，与这个（   ）位上的数有关。我们知道，个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。你知道是为什么吗？

15÷5=（10+5）÷5=10÷5+5÷5，

317÷5=（300+10+7）÷5=300÷5+10÷5+7÷5

我发现：一个数除以5的余数，与这个（   ）位上的数有关。我们知道，个位上是0或5的数是5的倍数。你知道是为什么吗？

216÷4=（200+16）÷4=200÷4+16÷4，

1317÷4=（1000+300+17）÷4=1000÷4+300÷4+17÷4

我发现：一个数除以4的余数，与这个（   ）位上的数有关。4的倍数有什么特征？

【设计意图】2、5的倍数特征与个位数有关，这是算法。其算理是整十、整百、整千……除以2、5都没有余数，因此只要看个位上的数。此作业，不仅是让学生明白其中的算理，更是为后继研究3的倍数的特征打下基础。

案例9：算算计数单位的个数

作业：阅读材料，再用材料中方法举例。

小明：今天学习了分数乘整数，我觉得分数乘整数与整数乘法相似，它们都是计数单位的个数相乘。计算20×3，20的计数单位是十，2个十乘3，就是6个十，所以20×3=60。

小华：小数乘整数也是小数的计数单位的个数相乘。计算0.2×3，0.2的计数单位是0.1，0.2×3就是2个0.1乘3，也就是6个0.1，所以0.2×3=0.6。

分数乘整数也是计数单位的个数相乘吗？请你举例说明。

【设计意图】数学课程标准（2022版）指出，数与运算的教学要感悟数的运算以及运算之间的关系，体会数的运算本质上的一致性，形成运算能力与推理意识。[4]此项作业，通过实例，引导学生从计数单位累加的角度去思考整数、小数、分数乘法的算理，沟通了联系。

两个案例均围绕“计数单位”这一核心概念进行关联。案例8中，延学作业是对课堂教学进行了补充，2、5的倍数与3的倍数特征判断方法不一致，通过对算理的分析，透过表面上的不一致，形成了具有结构性的方法，并与除法运算的算理进行了关联。案例9中，是对课堂教学进行了适当的提炼，新旧知进行了统一，形成了结构性的方法。

2.整体策略

戴维斯（R.Davis）在《数学学习：数学教育的认知科学研究》一书中对“图式”的基本性质作了总结：第一，图式源于成功的经验；第二，图式可以凭借某些十分简单的、特殊的“提示”得以实现；第三，图式为新的认识活动提供了必要的理论框架。[5]数学知识的特点之一是相互之间有着广泛的联系，这些联系是形成“图式”的基础。在作业设计时，可以利用课堂教学形成的“图式”，并延续课堂教学的经验，促进知识的整体迁移。如在“图形的认识与测量”的学习中，从一维长度、再到二维平面、三维空间，不管是在图形的认识上，还是在测量的方法的形成过程中，其都会经历相同的过程；数的认识过程中形成的關于数的组成的方法，数的运算学习过程中关于算理的整体认知等。

案例10：英制单位之间的换算关系

作业：体积单位的换算

有些国家采用“英制单位”，码、英尺、英寸，它们的换算关系：1码=3英尺，1英尺=12英寸。运用已学知识，你能推算出平方码、平方英尺、平方英寸这些面积单位之间的换算关系吗？立方码、立方英尺、立方英寸这些体积单位之间的换算关系呢？

【设计意图】根据长度单位之间的换算关系，推算出面积、体积单位之间的换算关系，其本质是对面积、体积意义的理解。以课堂教学中国际单位制中习得的图式，去迁移至英制单位，实现了知识的整体迁移，从而形成了知识的结构化。

3.整合策略

整合是指认知结构中相关数学概念的相互联结，有机结合，相互渗透，整合可以促进认知结构的系统化与优化。整合还可以重组学生的生活与学习资源，打通数学与儿童生活与其它学科的联系。

案例11：特殊与一般的关系

作业：方程与等式的关系。

方程、等式之间是怎样的关系？请在下图（图7）中表示出来？这样的图还可以表示哪些概念之间的关系？

【设计意图】本题以方程与等式之间关系的直观表达，引导学生展开联想，由此将小学所学具有这种关系的两个概念串联起来。这些概念虽然是不同的领域，但以同样的结构整合存储，形成结构化的知识，理解深刻利于提取。

案例12：青蛙爸爸跳多远

作业：乘法口决的练习

如图（图8），青蛙妈妈每次跳3格，小青蛙每次跳2格，它们都从0开始起连续地跳。青蛙爸爸每次跳的是在青蛙妈妈和小青蛙同时跳到的地方。

先用▲圈出妈妈跳的地方；再用O圈出小青蛙跳的地方。你知道青蛙爸爸每次跳几格吗？用到了几的口决？

【设计意图】以富有儿童情趣的形式练习了乘法口决，体现了乘法口决的价值，又将2、3的倍数及2和3的公倍数与6的倍数之间的关系融合在乘法口决之中，不同层次的知识进行了整合，有利于知识结构化，培养学生的思维。

基于结构化视域下的延学作业，其反映的是学生认知结构动态形成过程，因此，对作业的评价，应更关注作业过程中学生的思考与数学学习的态度，对评价结果的运用应由甄别判断转向“为学习的评价”。在实践过程中，适合采取一种支持学习的态度，坚持多元评价，独立思考与同伴学习相结合，以学生的发展为目标，与课堂教学形成合力，共同促进素养的形成。

参考文献：

[1][3][4]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[Z].北京：北京师范大学出版社，2022：85，86，18.

[2]瞿静．论学习力理念从管理学向教育学领域的迁移［J］．教育与职业，2008（3）：64－65．

[5]鲍建生，周超著．数学学习的心理基础与过程［M］．上海：上海教育出版社，2009：189．

责任编辑：陈国庆