高中数学高效课堂模式探究

张晨

摘要：本文以《幂函数》为例，探讨提高课堂有效性的实践与思考.在课前教学设计时，教师可以寻找数学知识、信息技术和学生思维方式三者之间的契合点，通过信息技术的应用为学生创造一个良好的思考环境.在课堂教学展开时，要在重点处、关键处、疑难处进行提问，关注学生思维背后的东西.让学生主动参与到教学过程中，实现教学效果的最大化.

关键词：高效课堂；有效性；幂函数

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《课标》）中指出：“丰富学生的学习方式、改进学生的学习方法是高中数学新课程追求的基本理念.提倡独立思考、自主探索、合作交流等多种学习方式，激发学习数学的兴趣.”课程改革的核心问题就是课堂改革，教师教育思想的引导渗透、教学目标的圆满达成、教学过程的科学展开，大多是在课堂教学这个特定的时空中实现的.因此引导学生高效学习，打造高效课堂模式，是每一个数学教师应该深入探讨的问题.现以一节公开课——苏教版高中课本必修一《§6.1幂函数》为例，探究如何提升高中数学概念教学的有效性.

1问题情境

以生活情境为背景，可提出以下数学问题，如：

情境1：正方形的边长为a，则正方形的面积是S=a2；

情境2：正方形的边长为a，则正方形的体积是V=a3；

情境3：一个正方形场地的面积为S，则这个正方形的边长a=S0.5；

情境4：张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，则她需要付费p=w元；

情境5：某人t秒内骑车行进了1千米，那么他騎车的平均速度v=t-1km/s.

师：假设将以上数学模型中的自变量统一用x表示，函数值用y表示，则相应的函数关系式为：y＝x2，y=x3，y＝x0.5，y＝x，y＝x-1.

设计意图：此处的函数变形便于寻找解析式的共同特征，从而发现幂函数在解析式上满足的要求，给后面幂函数概念的析出做好铺垫.在解析式的转换过程中，学生共同回答，课堂气氛浓烈.

问题1：你能发现以上函数解析式的共同点吗？

生1：解析式右边都是以自变量为底的指数式，且指数均为常数.

生2：自变量前的系数都为1.

生3：无常数项.

师：我们将具有以上这些特征的函数归为一类，因为它们都是幂的形式，所以叫幂函数，这也就是我们在高中阶段要研究的第一类重要函数.

2建构教学

2.1幂函数的概念

师：到底什么是幂函数？你能给幂函数下定义吗？

生4：形如y＝xa的函数称为幂函数.

设计意图：由特殊到一般，是学生常用的归纳探索的方法，此时教师不必重复.精简概念教学中指向性明确的问题，这里只要把概念中的x是自变量和α是常数提一下即可.

辨析：判断下列函数是否为幂函数.

（1）y＝x-2 （2）y＝x0.5 （3）y＝－x2

（4）y＝x3＋2 （5）y＝x4 （6）y＝3x

（此处判断理由无需强调，只需学生直观感知幂函数解析式需要满足的形式即可.）

问题2：任何函数都是由三要素决定的，为什么幂函数的概念中只给对应法则，而没有给定义域？

师：幂函数的定义域并不固定，与解析式中指数α的取值有关.而α取值的不同除了会影响幂函数的定义域之外，还会直接影响到幂函数奇偶性的不同.

设计意图：让学生直观感受到幂函数定义域会随指数α取值的不同而发生改变，理解在幂函数概念中没有限制定义域的本质原因.此处对于幂函数奇偶性的判别也为下面要研究函数的图象性质做铺垫.

问题3：当你接下来准备对幂函数的概念进行深入认识时，你觉得应该研究什么？

生（齐声）：研究幂函数的图象和性质.

设计意图：根据学习一般函数的经验，学生很容易想到接下来所要进行的任务.这种也是研究一切函数的基本思路，类比学习归纳学习的思想方法得以体现，可引导学生迁移并掌握.

2.2幂函数的图象和性质

师：你曾经是否见过幂函数？在初中是否研究过特殊的幂函数？

生5：研究过一次函数、反比例函数和二次函数.

师：请同学们在同一坐标系中画出这三个幂函数的图象.

师：你能在同一坐标系内再画出函数y＝x3，y＝x0.5的图象吗？

（教师在黑板上板演描点作图，如图1，让学生现场感受作图的整个过程，随后再展示出以上五个函数的精确图象.让学生一起经历从猜测到验证的学习过程，对于学生今后的数学发展十分重要.）

师：若想通过图象归纳幂函数的性质，仅仅通过五个特殊情况显然是不够的.下面利用几何画板把α随意变化，观察幂函数y＝xα图象的变化情况.请大家观察当α随意变化时，幂函数在第一象限内的图象变化规律.

设计意图：如图2，在几何画板中拖动点A使指数α的取值发生变化，学生自然会发现不同函数的图象发生了变化，直观又简单的帮助学生体会函数学习，从抽象到具象.随后使用“跟踪图象轨迹”功能，如图3，使学生在比较变化时有足够的参照物，在直观感受幂函数图象多样性的同时，发现变化中的不变特征，从而归纳出幂函数的性质.此处归纳出的性质应在演示的同时由教师板书，呈现在黑板上，使图象与性质相对照，既突出本节课教学重点，也易突破本节课教学难点.

师：通过观察大量的函数图象发现，任意幂函数都经过一个特殊点（1，1）.其次，在单调性上也存在一定的规律：当α＞0时，在（0，＋∞）上单调递增；当α＜0时，在（0，＋∞）上单调递减.

问题4：我们不难发现在整个变化过程中不论α取何值，幂函数在第一象限内始终有图象，这是为什么？

生6：对于任意幂函数，当x＞0时总有y＞0，所以幂函数图象一定过第一象限.

问题5：除了第一象限之外，在其它象限内幂函数是否也有图象？如果有，如何得到图象？

生7：一定有.y＝x2在第二象限内有图象，y＝x和y＝x-1在第三象限内有图象.

生8：不一定有.像y＝x0.5就只在第一象限有图象.

生9：到底是否有图象，与幂函数的奇偶性有关.如果幂函数是偶函数，则在一、二象限内有图象；如果幂函数是奇函数，则在一、三象限内有图象.

生10：如果幂函数非奇非偶，则只在第一象限内有图象.

设计意图：此处一方面让学生了解选择研究第一象限图象变化的原因，另一方面引导学生主动回忆起函数奇偶性的内容，体会函数奇偶性的本质作用.由此，根据函数奇偶性的不同，幂函数的图象形状共有以下2+3×3=11种可能性，如图4.

师：至此，按照一般函数的研究思路，我们学习了幂函数这种新的函数模型，了解并掌握幂函数的概念、图象和性质.而幂函数的图象和性质需要讨论的情形更多，需要引起足够的重视.

3应用新知

例1比较下列各组数中两个值的大小.

（1）1.50.5和1.70.5；（2）0.71.5和0.61.5；

（3）0.21-3和0.23-3；（4）30.8和30.7；

（5）31.4和51.5；（6）20.5和1.80.6.

（在学生板演过程中，引导学生找出不够规范的地方，并互相进行矫正改错，以在润物细无声中培养学生的良好习惯，规范解题步骤.）

例2：已知幂函数y＝f（x）的图象过点（2，20.5），试求出这个函数的解析式.

（该道题目学生的思路十分清晰，解答也很完整，充分说明学生已经认清此类问题的本质，找到应对此类问题的方法，并已经将刚学习的幂函数融入到已有的认知结构中去，达到本节课的教学目标.）

4教后反思

4.1信息技术是实现高效课堂的突破口

现代信息技术的不断发展，为教育创造了很多创新性的教学手段，也给教学创造了更多的可能性.

针对数学教学时出现的一些重点或难点，教师可以尝试寻找数学知识、信息技术和学生思维方式三者之间的契合点，通过信息技术的应用为学生创造一个良好的思考环境.例如，在本节课中，比较抽象的幂函数的图象变化规律，经过几何画板的演示（如图2，图3）变得生动、形象，使学生通过仔细观察即可发现幂函数图象随指数α变化而变化的规律特点.这样的教学方式不但可以轻而易举地化解教学重难点，让学生更深刻的理解数学知识和方法，还拓展了学生的数学知识想象空间，培养了学生的数学想象素养，从而高中数学课堂教学的效果和质量得到有效提升.

4.2问题设计是实现高效课堂的着力点

问题，是数学教学的灵魂.恰到好处的提问，不仅能调动学生学习的欲望，还能提升学生知识学习的内驱力.教师在课前应当充分预设每一个教学环节的引领性问题，并根据学生在课堂上的表现将问题不断地进行调整、重组，灵活机动地组织教学.在数学课堂上到底应该问什么？应该怎么问？教师要在重点处、关键处、疑难处进行提问，切忌华而不实的提问，如“是不是”“有没有”，听起来热闹，实际上学生并没有深入思考，达不到学习数学的真正目的.提出问题后，还应注意适当留白，不要急于讲解，要留给学生充分思考的时间，往往课堂的隨机生成更可以引出精彩之处.让学生主动参与到教与学的互动过程中，让学生变成课堂的主体，在这过程中实现知识和能力的双丰收.

本文系福建省教育科学“十四五”规划2021年度立项课题“信息技术背景下的‘智教'课堂模式研究”（Fjjgzx21-078）的研究成果.