探讨有限莫利秩的域的结构和性质

杨年西

摘 要：环具有加法群和乘法群的二元代数运算结构，利用有限莫利秩的群的性质具有降链条件，与在无限域上的代数扩张的伽罗瓦理论结合，来研究有限莫利秩的无限域的结构和性质，主要成果为：有限莫利秩的无限域K，任意a∈K，整数n＞0，方程xn=a在域K中有解；假设域K是有限莫利秩的无限域，那么域K一定是代数闭域.

关键词：无限域；有限莫利秩的群；代数扩域；代数闭域

模型论是数理逻辑的分支，与代数学联系非常密切.近代很多学者用模型论的方法和理论来研究其他数学学科，如A. Robinson用模型论的理论开创了非标准分析，国内学者王世强用模型论理论一直研究数论，试图用模型论的理论来证明孪生素数猜想［1］.模型论主要研究一阶逻辑形式语言中的模型完全理论和理论的完全性，而现代模型论热点研究方向稳定理论及其应用，ω-稳定理论是一阶逻辑形式语言中完全性理論的一种特殊形式，有很高的研究价值，能够应用于群论、环论及代数几何等基础数学学科和计算机理论中，来解决其他学科的一些问题.尤其A. Borovik发现了秩群的结构和ω稳定的群结构一致的，随后学者Poizat证明了这个结论，就称秩群是有限莫利秩的ω稳定的群，简称有限莫利秩的群；类似有限莫利秩的ω稳定的环，简称有限莫利秩的环.伽罗瓦为多项式方程的根解提供新的判别方法，开创研究域的结构和域的扩张与群论相结合的方法.本文把有限莫利秩的群研究的理论成果与伽罗瓦理论相结合，探讨有限莫利秩的域的代数结构和性质.

1 预备知识

二十世纪初，伽罗瓦的思想和方法才被重视，解决多项式的根解问题，如果方程f（x）=0是否有根式解，转化成判别域E对于域F的扩域的伽罗瓦群是否可解.有关有限莫利秩的群的相关成果，如有限莫利秩2的群一定是可解群；群G含有最小的有限指数的确定子群G0，称子群G0是群G的连通部分，且群G0是群G的正规子群和连通的分支是唯一的，有限莫利秩的无限群含有确定的无限交换子群，K*表示域K的全体非零元素组成乘群，RM（X）表示集合X的莫利秩的数量.

反证法，假设K不是代数闭域，在域K上存在次数n＞1不可分多项式f（x），设域L是K的代数扩域，且L是K上的不可分多项式f（x）的分裂域.根据引理1.4，L：k是有限的.又由引理1.5，RM（K）=RM（L），根据引理1.6，可知域L和域K都是连通的，且KL，可得域K=L，推出f（x）多项式在域K上可分的.与前提假设矛盾，即任何次数大于1的多项式f（x）都是可分的，在域K上不存在代数扩域，即域K是代数闭域.

参考文献：

［1］ 王世强.一些4次数环的具有Goldbach性质的扩环［J］.北京师范大学学报，2005，41（4）：343345.