基于真实情境 考查思维能力

姚英艳

摘   要：以2022年的河北中考数学第25题为例，探究如何基于真实情境，考查学生的思维能力。其既注重了初高中知识间的衔接，又显示出考试的选拔性功能。

关键词：初中数学；河北中考；真实情境；思维能力

中图分类号：G633.6    文献标识码：A    文章编号：1009-010X（2023）17-0010-03

一、本题考查内容

题目展示：25.（本小题满分10分）

如图，平面直角坐标系中，线段AB的端点为A（-8，19），B（6，5）.

（1）求AB所在直线的解析式；

（2）某同学设计了一个动画：

在函数y=mx+n（m≠0，y≥0）中，分别输入m和n的值，便得到射线CD，其中C（c，0），当c=2时，会从C处弹出一个光点 P，并沿CD飞行；当c≠2时，只发出射线而无光点弹出。

①若有光点P弹出，试推算m，n应满足的数量关系；

②当有光点P弹出，并击中线段AB上的整点（横、纵坐标都是整数）时，线段AB就会发光，求此时整数m的个数。

本题是基于真实情境，考查一次函数的图像信息题。知识与技能方面包含：用待定系数法求直线的解析式、解二元一次方程组、代入求值、如何确定整数点的个数等综合知识。解题当中用到的思想方法有：数形结合思想、转化思想、函数与方程思想。

二、答题情况

1.第一问求直线AB的解析式正确率较高，这说明教师们在平时的教学中，注重待定系数法求一次函数表达式的训练。但仍有部分学生待定系数法步骤不全，出现“设列解”的步骤缺失。

2.“求整数m的个数”这一问因审题不清，导致很多学生在面对真实情境时，不知如何转换。那么第25题为什么这么设计，又考查了学生的哪些能力呢？对此我们先来解读一下新课程标准的要求。新课程标准以学生发展为本，以核心素养为导向。核心素养具有整体性、一致性和阶段性，初中阶段的核心素养主要表现为：抽象能力、运算能力、几何直观、空间观念、推理能力、数据观念、模型观念、应用意识、创新意识9个方面。其中抽象能力、推理能力、模型观念是初中核心素养表现中新增加的三个方面。第25题第二问恰恰对学生这三方面的素养提出了较高的要求。

第（2）问的问题②学生在突破时会存在两个难点，其一、理解题意方面存在一定的难度，需要将真实情境 “有光点P弹出，击中线段AB上的整点”转化为数学结论——两个一次函数有交点且交点为整点；其二、已知两个一次函数有整点，求参数m取值的问题在推理表达时存在难度，解法一：首先设整点为 P（x0，y0） ，构建关于x0、y0的二元一次方程组，这是一个数学抽象、数学建模的过程，列出方程组之后，再通过消元法将 3 个字母的问题转化为 2 个字母的问题，以获得参数m与整点横坐标x0，或纵坐标y0的直接关系。该过程既蕴含函数与方程、转化的思想，又体现了学生的数学素养与解题能力，其中m用x0的代数式表达，为明确m的取值，代数式的变形采用了分离常量法，这一技能，在高中求值域时常常使用，也凸显了中考试卷的选拔性功能。

解法 2：由题A（-8，19），C（2，0），可得直线AC的解析式为：y=-1.9x+3.8，同理直线BC的解析式为：y=1.25x-2.5，要使线段AB发光，m的取值范围为m≤-1.9或≥1.25.

由①直线CD的解析式为：

解法二的转化方向和解法一完全相同，只是解决方案不同，其先通过两点的坐标分别确定直线AC和BC的解析式，然后通过图像、数形结合确m的取值范围，随后再联立直线AB，和直线CD的解析式，构建含有参数m的二元一次方程组，以解得两条直线得交点横纵坐标（用含有m的代数式表示），然后由交点为整数及m的取值范围可明确m的取值。

解法一和解法二都经历了从真实情境进行数学抽象、数学建模的过程，对学生的数学素养有较高的要求。在讲解法三时，我们可以通过几何画板，直观感受这一动态的过程。

解法 3：由①直线CD的解析式为：y=mx-2m

线段AB上的整点有15个，分别为（-8，19）（-7，18）（-6，17）（-5，16）（-4，15）（-3，14）（-2，13）（-1，12）（0，11）（1，10）（2，9）（3，8）（4，7）（5，6）（6，5），将上述各点分别代入y=mx-2m，求得整数m分别为-2，-4，-10，8，2，所以m的个数为 5 个。

解法三的产生来源于学生对几何图像细致的观察，以发现最终解决方案。虽然计算量大一点，但其把真实情境最终转化为学生熟悉和擅长的已知两个确定的点，求一次函数解析式的问题。如此一来在做推理时，数学语言就变得简单，而且更容易接受，这足以说明数形结合、几何直观的重要性。

基于真实情境的一题多解，其意义既不在于罗列，又不在于解法之多，而在于教学中，教师尊重每一位学生的输出，发现每一种可能的角度，多方寻求优化方案，只有这样才能拓展学生的视野，使其从联系、综合的角度看待问题；只有这样才能提升学生的数学抽象、数学建模能力，进而提升学生的思维能力。

四、教学建议

第一，在平时的教学中，教师要重视基础知识、基本技能的训练，并要求学生树立基础知识满分的意识。同时多关注基础知识薄弱的学生。

第二，要想正确建模，应加强审题训练。因为各种各样的原因，教师往往急于完成教学任务，所以在讲解各种题目时，对题意一带而过，然后学生在不了解题意的情况下，进行解题或听教师的讲解，长此以往，盡管学生做的题数量不少，但依然逃不开两种结果：遇到重复的类型，学生按套路出牌，虽然能做对，但并不能提升学生的能力；遇到新颖的题目，需要仔细琢磨理清题意时，学生往往束手无策。因此，在平时的教学中，教师首先要加强审题训练，即给学生一定的时间理解题意，以使其明白知识的来龙去脉，其次，要精选新颖的真实情境，以引导学生进行抽象思考，如此可在比较中提升学生的数学素养。

第三，整合资源，通过专题进行一次函数模型复习。要重视设计活动，因为其既可帮助学生理解一次项系数k的几何意义，又可促使学生体会一次函数与二元一次方程组的关系。在坐标系中研究函数时，要注重数形结合的思想。

第四，梳理初中数学教材中数学建模的主要素材。只要我们深入钻研教材，挖掘其中所蕴含的材料，并从中提炼，就能找到有效的模型素材，如此可培养学生的抽象能力。

五、解题反思

（一）题目包含两大问，三个台阶，层次感极为分明

第一个台阶，考查学生的基本知识和技能。第二个台阶，它的解决必须依赖于“由光点P弹出”这样的现实情境，然后经抽象、转化为数学问题才能解决，该过程就是数学建模过程。第三个台阶，真实情境下问题的文字量是极小的，其关键就是以下这句话“由光点P弹出，击中线段AB上的整点”。解决这样的问题，学生既不能错过每一个字，又不能不经抽象即用更多的数学语言找到它的等价形式，并用已有的数学知识解决新的问题。所以能解答这一问的学生，一般具备较强的数学素养。要想培养出这样的学生，教师要在平时的教学中不断渗透，关注这样的过程，这就对我们教师提出了更高的要求。

（二）思考新课标下如何渗透数学核心素养

一次函数和二次函数模型是中考考查的热点，但从近三年的数据来看，2020年只是在真实情境中应用函数模型，学生无需抽象。2021年和2022年从题目设置的位置来看，从真实情境中抽象出函数模型的难度在增大。这就要求我们教师在平时的教学过程中，既要努力分析并转化真实的情境，以增强学生的符号意识和数学建模能力，又要增强学生的代数推理能力和发展几何直观的能力。对此教师需要通过做题，学习专业知识，比如几何画板等，去用心积攒素材，如此可培养学生的数学能力，发展其数学素养。

【责任编辑 韩梁彦】