解答数列求和问题常用的几种途径

颜智清

求数列前 n 项和问题具有较强的综合性，侧重考查等差和等比数列的通项公式、定义、性质以及前 n 项和公式.常见的命题形式有：（1）根据数列的递推关系式求数列的前 n 项和；（2）根据数列的通项公式求数列的前 n 项和；（3）根据一个数列的前 n 项和求另一个相关联数列的前 n 项和.解答数列求和问题的常用方法有分组求和法、错位相减法、裂项相消法、并项求和法、倒序相加法.下面结合实例，谈一谈这几种途径的特点以及应用技巧.

一、分组求和

分组求和法是指将数列中的各项分为几组，分别进行求和.在解题时，要先仔细研究数列的通项公式，将其合理地拆分为几个等差、等比、常数数列通项公式的和、差；再将数列划分为多个组，分别根据等差、等比数列的前 n 项和公式求得每一组数列的和.

例1.已知Sn 为数列{an}的前 n 项和，4an =3Sn +1.

（1）求数列{an} 的通项公式；

（2）设{bn -an} 是等差数列，且 b1=2，b2=6，求{bn} 的前 n 项和 Tn .

解：

仔细观察数列{bn} 的通项公式的结构特点，可发现该数列由等差数列{n} 和等比数列{4n -1} 的和构成，于是将数列分为两组，根据等差、等比数列的前 n 项和公式分别求出每一组数列的和，再将所得的结果相加，即可求得数列的前 n 项和.

二、错位相减

若一个数列的各项为一个等差数列和一个等比数列的对应项的积，则可采用错位相减法求数列的前 n 项和.先将数列的各项乘以等比数列的公比，并将各项相加；再将其与数列的前 n 项和式错位相减，化简所得结果，即可求得数列的前 n 项和.在解题时，需重点关注：（1）数列通项公式的结构特点；（2）错位相减时，要将指数相等的项对齐，并作差，这样便于运算.

例2.设数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，若 a1=1， Sn =an +1-1.

（1）求数列{an} 的通项公式；

（2）设bn = ，求数列{bn} 的前 n 项和 Tn .

解：

列出数列的前 n 项和式，并在该式的左右同乘以等比数列的公比 ，即可得到与①结构相似的式子.此时只需将①②两式错开一位，将指数相同的项相减，即可运用等比数列的前 n 项和公式求得数列{bn} 的前 n 项和.

三、裂项相消

若数列的通项公式可裂为两项之差的形式，如 1 n（n + 1） = 1 n - 1 n + 1 、 1 n + n + k = 1 k （ n + k - n ） ，就 可以采用裂项相消法求数列的前n项和.将裂项后的 部分项抵消，化简剩余的项，即可快速求得数列的和.

例3

解：

数列的各项均为分式，且均可分裂成两项之差的 形式：1 an = 2 n（n + 1） = 2? è ? ? 1 n - 1 n + 1 .于是采用裂项相消 法，将裂项之后的各项相加，即可求得數列的和.裂项 相消法较为简单，解题的关键在于将数列的通项公式 进行合理的拆分.

例4

解：

我们先将数列的通项公式裂项，即 bn = 1 4 × 1 n（n + 1） = 1 4 ? è ? ? 1 n - 1 n + 1 ；然后将各项相加，那么各项中绝对值 相等、符号相反的项就会相互抵消，通过简单的化简， 即可解题.

四、并项求和

运用并项求和法求数列的前 n 项和，需将有规律的前后项合并作为新的项，构造出新数列，再进行求和.用该方法解题的关键在于仔细研究数列中各项的规律，选取合适的对象进行合并，从而简化和式.

例5.

解：

根据 an + 1 + an = （n + 1）cos nπ 2 可知，该数列中每两 项之和存在一定规律，于是采用并项求和法，先将第 二、三项，第四、五项，第六、七项相加……再根据 cos nπ 2 的周期性求得 S2021 的值.并项求和法主要适用 于求解数列中几项的和、差为定值的问题.

五、倒序相加

运用倒序相加法求数列的前 n 项和，要先将所求数列各项的顺序颠倒；再将其各项与原数列的各项相对应，并相加，即将原来的第一项与新数列的第一项相加，原来的第二项与新数列的第二项相加……得（a1+ an） +（a2+ an -1） +（a3+ an -2） +…+（an -1+ a2） +（an + a1）.若数列中与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，那么就可以运用倒序相加法快速求得数列的和.

例6.

解：

由 f（x） +f（y） =2可知数列中的每两项之和存在一定的规律，于是将数列各项的顺序倒过来，并将其与原数列相加，得到（n +1）ln（xn yn） ，从而求得数列的和.

求数列前 n 项和的方法很多，各种求和方法的应用技巧均有所不同，同学们需熟悉各种方法的特点、适用情形，根据数列及其通项公式的结构特点，选择与之相应的方法进行求解.

（作者单位：福建省永春第一中学）