用向量法解五类立体几何题的思路

尚友杰

立体几何问题的命题形式很多，常见的有求平面外一点到平面的距离，求两条异面直线之间的距离，求直线与平面所成的角，求二面角，证明面面平行、垂直等.有时采用常规方法求解立体几何问题比较复杂，甚至很难获得问题的答案，此时不妨运用向量法，将立体几何问题转化为向量运算问题，通过简单的计算即可解题.向量法是指给线段赋予方向，给各个点赋予坐标，通过向量运算求得问题的答案.下面结合实例探讨一下如何运用向量法求解五类立体几何问题.

一、求平面外一点到平面的距离

如图 1，若点 P 为平面α外的任意一点，要求 P 到 平面α的距离，需先求得向量OP 以及平面α的法向量 n .那么法向量 n 方向上的正射影长 h = | |OP sin = | |OP?n |n| ，即为 P 到平面 α 的距离.运用向量法求 平面外一点到平面的距离，主要是运用向量数量积的 几何意义：一个向量与其在另一个向量方向上的投影 的乘积.

例2

解：

由于无法确定点A1到平面OBMN的射影，所以根 据法向量与射影的关系，运用向量法求解.运用向量法 求平面外一点到平面的距离，关键是要根据线面垂直 的判定定理求得平面的法向量.在求法向量时，往往要 先设出法向量 n ；然后在平面内找到两条直线a、b，并 求得其方向向量 a 、b；再建立方程组 {n?a= 0， n?b = 0， 通过 解方程组求得法向量 n 的坐标.

二、求空间中两条异面直线之间的距离

求两条异面直线之间的距离，需运用转化思想， 把两条异面直线之间的距离转化为平面外一点到平 面的距离.在求两条异面直线之间的距离时，需先求出 两条异面直线的方向向量 a 、b，并求得两个向量所 在平面的法向量 n ，那么两条异面直线之间的距离为 h = |a?n| |n| .

例2

解：

求空间中两条异面直线之间的距离，通常需先确定两条异面直线的公垂线，再求其长度，其过程较为繁琐.巧妙建立空间直角坐标系后，求得两条异面直线的方向向量及其法向量，即可通过简单的运算，快速求得异面直线之间的距离，这样能达到事半功倍的效果.

三、求直线与平面所成的角

如图 4 所示，设直线 OP 为平面α外一条直线，运 用向量法求直线OP与平面α所成的角，需先求得平面 α的法向量 n 和直线OP的方向向量OP ；再根据向量 的数量积公式求得 | cos < |OP，n> = | |OP?n | |OP ?|n| ，那么直线 OP与平面α所成角的正弦值为 | cos < |OP，n> .值得注 意的是，直线OP与平面α所成角的范围为[0，π 2 ].

例3

解：

求直线与平面所成的角，需根据直线与平面所成角的定义确定所求的平面角；然后通过建立直角坐标系，将问题转化为向量夹角问题来求解.

四、求二面角的大小

如图6，若在二面角α-l-β中，PM、PN 分别垂直于面α、β ， 根据二面角的定义可知∠MDN 就是二面角α- l-β的平面角.而∠MPN 可以看成是平面α、β的法向量 、所成的角（或其补角）.故求二面角α-l-β的平面角，只需根据向量的数量积公式求两个法向量所成的角的余弦值cos  ，  = | | 即可.

例4.如图7，正方体 ABCO-A1B1C1O1的棱长为1，试求平面A1BC1与平面ABCO 所成角的余弦值.

解：

运用向量法求二面角，实质上就是求两个平面的法向量的夹角.在建立空间直角坐标系后，求出两个平面的法向量，根据向量的数量积公式，就不难求出二面角了.要注意的是，法向量的夹角的余弦值可能为正值，也可能为负值，我们可根据图形中两个平面的位置来确定二面角为锐角还是钝角.

五、证明两个平面平行或垂直

证明两个平面平行或垂直，往往要先求得两个平面的法向量，再判断两个平面的位置关系.若两个平面 α、β的法向量nα ∥  nβ ，则平面α∥平面β；若两个平面 的法向量nα ⊥  nβ ，则平面α⊥平面β.

例5

证明：

运用向量法证明两个平面平行或垂直，需熟悉向 量的运算法则，以及两个向量之间的平行、垂直关系， 一般地，n1 ?n2 = 0 ?  n1 ⊥  n2 ；n1 = λn2 ?  n1 ∥  n2 .

总之，运用向量法解答立体几何问题，需注意以 下几点：（1）根据几何模型的特点构造合适的空间直 角坐标系，把点、线、面用向量表示出来；（2）熟練运用 向量的运算法则进行计算；（3）明确向量与线段、坐标 之间的关系；（4）灵活运用转化思想和数形结合思想 来辅助解题.

（作者单位：甘肃省武威铁路中学）