妙用构造法解题

王薇

运用构造法解答数学问题，需观察与分析命题条件与结论中数学元素的名称、结构、关系，发现其与学过的某些数学知识之间的关联，构造与命题相匹配的数学模型，以使命题转化，最终解题.构造法的核心是构造新的数学模型，要不断尝试将问题与方程、函数、图形等建立联系，构造出新的数学关系.

一、构造直线的斜率

直線的斜率是直线的一个重要特征.直线的斜率 公式为 k = f （x1） - f （x2） x1 - x2 （x1 ≠ x2） ，该公式揭示了直线 上两点的坐标之间的关系.在解答函数、平面几何、平 面向量问题时，我们可以将有关两点的纵坐标之差、 横坐标之差的式子看作直线的斜率，利用直线斜率的 性质和意义解题.一般地，当 k > 0 时，直线呈上升趋 势；当k < 0时，直线呈下降趋势.

例1.

解：

我们将要比较的三个分式变形，构造出新模型 f （x） x = f （x） - 0 x - 0 ，即可将其视为定点 （0，0） 与函数 f （x） 图象上的点 （x，f （x）） 连线的斜率，结合导函数的几 何意义和直线的升降趋势，就能快速比较出三个分式 的大小.

二、构造直线

我们知道 y =kx + b，ax + by +c =0均可表示直线，因此在解答二元一次方程、不等式、函数问题时，可根据解题需求将二元一次式看成是直线的方程，从而构造出直线.通过讨论直线、点之间的位置关系，寻找到图形中的特殊点或特殊位置，从而迅速找到解题的突破口.

例2

解：

我们将 x + y + 2 = 0 看作直线的方程，画出其图 形，通过数形结合，确定直线到曲线的最大距离和最 小距离，从而求得目标式的最值.

三、构造函数

函数的概念、图象、性质是解答代数问题的重要工具.当解答代数问题受阻时，我们可将代数式或其中某一部分看作一个新函数，通过研究新函数的概念、图象、性质，求得问题的答案.

例3.

解：

总之，构造法是解答高中数学问题的重要方法，但构造法较为灵活.同学们要善于观察、分析元素之间的内在联系，在“需求”和“可求”之间搭建解答问题的“桥梁”，运用构造法，快速找到解答问题的切入点.

（作者单位：上海市朱家角中学）