例谈比较函数式大小的思路

赵静

比较函数式大小的问题比较常见，侧重于考查指数函数、对数函数、幂函数的性质与图象.由于大部分函数式的指数、底数、真数不同，很难直接比较出它们的大小，所以往往就需要采用一些相应的技巧，才能达到解题的目的.本文主要介绍比较函数式大小的几种思路，以帮助同学们提升解题的效率.

一、利用函数的性质

在比较函数式的大小时，常常会用到函数的性质，如单调性、对称性、奇偶性、周期性等.先将指数、底数、真数不同的函数式转化为指数、底数、真数相同的函数；再根据函数的单调性来比较两个或多个函数式的大小.一般来说，增函数的自变量越大，函数值越大；减函数的自变量越小，函数值越大.

例1

解：

解答本题，需灵活运用函数的性质.首先根据偶函数的性质，将三个函数式的自变量转化到同一个单调区间 （0，+∞） 内；然后利用函数的单调性来比较函数式的大小.

二、借助中间量

当要比较的两个函数式之间没有任何联系时，往往可以借助中间量来比较它们的大小.在选取中间量时，需要找到和两个函数式都有一定联系的量，通常会选取 0、1、-1 等特殊值作为中间量，这样便于调换指数函数的指数、底数，对数函数的真数、底数.

例2

解：

我们选取 1 = log 3 3 作为 a、b 之间的中间量，0 作为 b、c 之间的中间量，便可根据对数函数和正切函数的诱导公式来比较出三个函数式的大小.

三、运用图象法

图象法是判断函数式大小关系的一种常用方法，图象往往比数字更加直观.在解题时，要先在同一个坐标系中作出要比较的几个函数式的图象；再结合函数的图象和性质，通过观察，比较出函数式的大小.

例3

解：

要比较三个函数式的大小，只需比较 log23.4 、 log43.6 、log3 10 3 的大小.在同一坐標系中画出图象，确定三个函数值的位置，即可通过观察比较出三个函数值的大小.最后根据 y = 5x 的增减性得出结论.

比较函数式的大小，首先要明确要比较的函数式之间的关系和区别，并将函数式进行适当的变形，使其建立一定的联系，以便利用函数的性质或图象进行比较.同学们需对解答此类问题的思路、方法进行归纳总结，才能在解题时做到运用自如.