用函数的图象解不等式需注意的两个要点

相冬梅

不等式问题比较常见.有些不等式问题较为复杂，很难直接根据不等式的性质快速求得问题的答案，此时需将不等式与函数关联起来，根据不等式的结构特征合理构造出函数模型，以利用函数的图象、性质顺利求得问题的答案.那么在运用函数的图象解不等式时，要注意哪些要点呢？主要有下面两点.

一、要构造出合适的函数模型

在解不等式时，要把不等式与函数关联起来，将不等式进行合理拆分、整合，使其中一部分式子为一次函数式、二次函数式、指数函数式、对数函数式、幂函数式等.这样便可根据函数式快速画出函数的图象，以利用函数的图象确定不等式的解集.

例1.

解：

对于含有绝对值的不等式，往往可以直接将含有绝对值的式子看作函数式，并用绝对值内部式子的零点将实数集划分为几个区间.然后利用分类讨论思想，讨论每个区间上函数的解析式和图象，就能根据函数的图象找到满足不等式的点的集合.

例2

解：

该不等式中含有两个绝对值式子，于是构造函数 ?（x）= 2|x + 1| + |x| ；然后分三段 x < -1、-1 ≤ x ≤ 0、x > 0 讨论绝对值的符号，以去掉绝对值符号，得到最简的函数解析式；再在同一个坐标系中画出函数 ?（x） 和 y = 4 的图象，讨论满足不等式的点的集合：在函数 ?（x） 图象上且在 y = 4 的下方的点，求得 ?（x） 与 y = 4 的图象相交时的点的坐标，即可解题.在解不等式时，我们可以根据不等式的特征构造一个函数，也可以构造两个函数.

例3

解：

观察图3不难发现，要使不等式?（x）>0，需使函数 y =2x 的图象始终在直线 y = x +1的上方，只需使x <0或 x >1，

所以不等式的解集是（-∞， 0）?（1， +∞）.故选 D.

对于一些较为复杂的不等式，如含有绝对值、指数式、对数式、高次幂、根式、分式的式子，此时需先将不等式进行合理的变形、化简，如通过分类讨论去掉绝对值，通过平方去掉根号，通过分离参数使分式简化，通过移项整合单项式，等等，必要时可以将其中较为复杂的式子，如根号下的式子、绝对值内部的式子进行换元，即可根据化简后不等式的结构特征，快速构造出合适的函数模型.

二、要关注图象位置关系的临界情形

利用函数的图象解不等式，往往要先根据函数的解析式画出函数的图象，再讨论图象之间的位置关系，此时要重点关注函数图象位置关系的临界情形，如相交、相切、重合、一个交点、两个交点等.然后求得该临界情形下点的坐标，并根据图象的位置关系确定满足不等式的解集.

例4.若定义在 R 的奇函数?（x）在（-∞，0）上单调递减，且?（2）=0，则满足 x?（x -1）≥0的 x 的取值范围是（    ）.

A.[-1， 1]∪[3，+∞）       B.[-3，-1]∪[0， 1]

C.[-1，0]∪[1，+∞）       D.[-1，0]∪[1，3]

解：根据题意可知?（x）的大致图象如图4所示，将?（x）的图象向右平移一个单位可得?（x -1）的图象，如图5所示.

解该不等式，需重点关注不等式的临界情形： x? （x -1）=0，以及函数图象?（x -1）与 y =0的位置关系的临界情形∶相交.分别求出各种情形下 x 的值，即可根据函数图象与 x 轴的位置关系，确定不等式的解集.

例5.已知?（x）是定义域为 R 的偶函数， 当 x ≥0时，  ?（x）= x2-4x ， 那么不等式?（x +2）<5 的解集是______.

解：

通过观察图象不难发现，要使?（x +2）<5，需使图象上的点都在 y =5的下方，即-5< x +2<5，

故不等式的解集是{x|-7< x <3}.

画出函数的图象后，需重点关注?（x）与 y =5的临界情形，即相交时的情形，此时?（x）=5，据此求得交点的坐标，即可根据函数的图象确定?（x +2）<5的解集.

有时根据所给的条件我们只能画出函数的部分图象，为了得到完整的答案，我们需根据函数的奇偶性、对称性、周期性，得到完整的函数图象，再通过研究函数图象确定满足不等式的解集.虽然运用函数的图象，能较直观和便捷地解答不等式问题，但是同学们一定要注意用函数的图象解不等式的要点，这样才能快速、准确地获得问题的答案.