重视数学概念理解，优化数学解题过程

陶云

摘 要： 在数学解题教学中，要引导学生重视基本的概念理解，而不陷入繁杂的题型技巧，从而把握问题本质，优化解题过程。具体做法包括：理解概念的定义方式，形成简捷的解题方法；理解概念的实际意义，避免公式的生搬硬套；理解概念的判断依据，防止主观的错误判断。

关键词：高中数学；解题教学；概念理解；解题优化

李邦河院士曾说：“数学从根本上玩的是概念，而不是技巧。”数学教学，无论是新授课还是复习课，都要重视概念教学，让学生经历概念的形成过程，梳理概念之间的关联，从而充分理解概念，真正掌握概念。

然而，在讲学案盛行的今天，有的教师不研读教材，仅凭做几道讲学案上面的题目就去上课；一些教师的新授教学模式是“一个定义（定理）、三项注意、十题训练”，复习教学模式是“课前填写‘知识回顾+课上讲题与训练”。这种忽视概念理解、只顾解题训练的教学行为是舍本逐末的，不仅剥夺了学生的探究权利，浇灭了学生的学习热情，使学生沦为做题的机器，而且浅化了学生的认识，禁锢了学生的思维，让学生把握不到问题的本质，解题变得刻板生硬、套路化。

章建跃博士曾说：“解题错误主要源于概念把握不准，加深对概念的理解，掌握基础知识和基本技能，培养和发展数学能力，特别是数学思维能力是解题的基本目标。”笔者深以为然。例如，在高一阶段，学生研究子集关系时经常忘记考虑空集的情况，研究函数的奇偶性时经常忘记考虑定义域是否关于原点对称，利用基本不等式求最值时经常忘记考虑取等条件，处理含有对数式的题目时经常忘记考虑真数大于零，等等。这些问题并不全是记忆模糊导致的，更重要的是对概念（知识）的理解不够深刻。

本文重点结合案例谈谈笔者在数学解题教学中，引导学生重视基本的概念理解，而不陷入繁杂的题型技巧，从而把握问题本质，优化解题过程的些许做法。

一、 理解概念的定义方式，形成简捷的解题方法

一个概念往往有多种等价的定义（表征）方式：有的是呈现可操作的步骤，属于生成型定义；有的是罗列需满足的条件，属于要素型定义……在解题教学中，教师不仅要引导学生理解这些定义方式，而且要引导学生选择最合适的定义方式（通常是最能解释概念本质的标准定义），形成更简捷的解题方法。

二、 理解概念的实际意义，避免公式的生搬硬套

有些数学概念不仅有着形式化的表达式，而且具有更为本质的实际意义。在解题教学中，教师要注意引导学生洞察本质，回到概念本身代表的实际意义上，从而避免公式的生搬硬套，方便快捷地解決问题。

三、 理解概念的判断依据，防止主观的错误判断

判断概念是掌握概念的重要手段。有些概念定义中可操作的步骤或需满足的条件很清楚，可以利用定义判断；还有一些概念定义不够清楚，需要利用判定定理或等价表示方式判断。学生常常会因为选错判断依据甚至不知道判断依据而主观臆断，导致解题费时费力或者出错。在解题教学中，教师特别要引导学生关注概念的判断依据，防止错误的判断。

例5 （2021年新高考Ⅰ卷第8题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则 （）

A． 甲与丙相互独立

B． 甲与丁相互独立

C． 乙与丙相互独立

D． 丙与丁相互独立

此题得分率很低。很多学生对事件的独立性认识比较模糊，他们从两个事件相互独立就是互相没有影响出发，由主观上感觉的第一次或第二次取球的数字对两次取球的数字之和一定会有影响，排除了A、B、C三个选项，选择了D选项。

事实上，两个事件如果相互独立，它们之间确实没有影响，但是“没有影响”不是由主观感觉判断的，而是有客观标准的。苏教版高中数学教材对事件的独立性有这样的描述：如果我们认为任何事件与必然事件独立，任何事件也与不可能事件独立，那么两个事件A、B相互独立的充要条件是P（AB）=P（A）P（B）。这段描述给我们提供了判断两个事件是否相互独立的可操作性依据，由此我们只需要对相关的概率进行计算即可。