巧用导数证明不等式

摘 要：在高等数学和中学数学学习过程中，不等式作为解题的一种重要工具发挥着重要的作用。证明不等式往往也是考试中常见的一类题型。导数在判断函数单调性以及函数凹凸性等问题中有着重要的地位，在此过程中，也蕴含着一些证明不等式的方法。本文通过分析导数在判断函数特性中的应用，归纳总结出几种证明不等式的方法。为了更好地掌握理解这些方法，通过举例加以说明。本文还进一步拓宽了导数的应用范围，为初学者提供了更多证明不等式的方法。同时，在培养学生数学思维以及提高逻辑推理能力等方面有重要的作用。

关键词：不等式；导数；单调性；凹凸性；詹森不等式

中图分类号：O172  文献标识码：A

不等式证明是中学数学常见的一种题型，也是大学学习高等数学过程中一种重要的考试题型。通过学习，我们知道证明不等式的方法灵活多样，因此选取恰当的证明方法能达到事半功倍的效果。常见的证明不等式的方法有比较法、分析法、配方法、数学归纳法、反证法等。具体选取哪种方法，往往需要根据不等式的特点来选择。有些不等式可以用多种方法证明，因此在学习的过程中要善于分析总结归纳。

导数是大学理工科“高等数学”［1－3］和数学专业“数学分析”［4］课程中一个重要的概念，在微积分中扮演着重要的角色。华东师范大学版《数学分析》教材第六章《微分中值定理及其应用》中着重讨论了如何利用导数判断函数的特性。通过学习讲授本章的内容，注意到它蕴含了几种证明不等式的方法。因此，本文将详细介绍这些方法，并给出具体的实例加以说明。

1 利用微分中值定理证明不等式

首先介绍拉格朗日中值定理在证明不等式中的应用。为了需要，先引入此定理。

定理1［4］：若函数f在闭区间［a，b］上连续，在开区间（a，b）上可导，则至少存在一点ξ∈（a，b），使得：

f′（ξ）=f（b）－f（a）b－a（1）

首先，利用拉格朗日中值定理证明不等式的关键是，通过对不等式进行适当变形，使其出现式（1）右边的形式。以此来选取函数f（x）并确定区间［a，b］。其次，验证函数f（x）在［a，b］上满足拉格朗日中值定理的条件。最后，再利用导函数f′（x）在［a，b］上的取值情况或者有界性，得到所要证明的不等式。下面给出两个例子加以说明这个过程。

例1 证明：对任意实数x1，x2，都有

sinx1－sinx2

x1－x2

该不等式是三角函数中一个重要的不等式，在证明函数连续及一致连续中发挥着重要的作用。通常是利用三角函数的和差化积公式证明该不等式，现利用拉格朗日定理证明该不等式。对该不等式变形成sinx1－sinx2x1－x2

1。

证明：当x1=x2时，不等式显然成立。

当x1≠x2时，不妨假设x1

故对任意实数x1，x2，都有sinx1－sinx2

x1－x2。

在例1中，我们很容易地观察出所要构造的函数f（x），因此直接利用拉格朗日中值定理比较容易证明。往往很多题型，需要对不等式进行适当变形之后，才能确定函数。

例2 证明：对x>0，有0<1ln（1+x）－1x<1。

分析觀察上述不等式，要想化成式（1）的形式，需要对该不等式做适当变形。两边同时加1x，化简后再同时取倒数，就得到x1+x0有11+x

证明：对x>0，令f（t）=ln（1+t），t∈［0，x］。

显然，f（t）在［0，x］上满足拉格朗日中值定理的条件，因此存在ξ∈（0，x），使得f（x）－f（0）x－0=ln（1+x）－ln1x=11+ξ。注意到11+x<11+ξ<1，故11+x

从上面两个例子可以看出，利用拉格朗日中值定理证明不等式的难点就是构造满足条件的函数f（x），并确定区间［a，b］，因此需要通过多做练习加以巩固。

接下来，介绍柯西中值定理在证明不等式中的应用。

定理2［4］若函数f，g在闭区间［a，b］上连续，在开区间（a，b）上可导，且f′（x），g'（x）不同时为0，g（a）≠g（b），则存在ξ∈（a，b），使得：

f′（ξ）g'（ξ）=f（b）－f（a）g（b）－g（a）（2）

运用柯西中值定理证明不等式的关键是，寻找恰当的函数f，g及区间［a，b］。进一步说明其满足定理的条件，再根据等式（2）得到所要证明的结论。

例3 证明：x2π<1－cosx

分析将上述不等式两边同时除以x2得到1π<1－cosxx2<12。进一步变形为－12

证明对于任给的x∈0，π2，设函数f（t）=cost，g（t）=t2，t∈［0，x］。显然函数f，g在区间［0，x］上满足柯西中值定理的条件，因此存在ξ∈（0，x），使得

f（x）－f（0）g（x）－g（0）=cosx－cos0x2－02=－sinξ2ξ。

由于当x∈0，π2时，不等式2π

进一步变形得所要证明的不等式。

对于例3，我们还可以利用泰勒中值定理进行证明。泰勒中值定理叙述如下：

定理3［4］：若函数f在［a，b］上存在直至n阶的连续导函数，在（a，b）上存在n+1阶导函数，则对任意给定的x，x0∈［a，b］，至少存在一点ξ∈（a，b），使得

f（x）=f（x0）+f′（x0）（x－x0）+f″（x0）2！（x－x0）2+…+

f（n）（x0）n！（x－x0）n+f（n+1）（ξ）（n+1）！（x－x0）n+1。

接下来，我们利用定理3证明例3。

证明：由于函数f（x）=cosx在0，π2上存在任意阶导数，所以满足泰勒中值定理的条件，从而存在ξ∈0，π2，使得cosx=1－x22+x44！cosξ。整理可得1－cosxx2=12－x224cosξ<12。

注意到当x∈0，π2时，有

12－x224cosξ>12－π2424=12－π296>12－4296=13>1π。

综合可得所要证明的不等式。

应用微分中值定理证明不等式的关键步骤就是恰当地选取满足定理条件的函数，利用定理的结果出现不等式中的形式，再根据取值情况得到所要证明的结论。

2 利用函数单调性证明不等式

函数的单调性在证明不等式的过程中有着重要的作用，而导数的一个重要应用就是判断函数的单调性，并得到了下面重要的结论：

定理4［4］：设f（x）在区间I上可导，则f（x）在I上递增（减）的充要条件是f′（x）0（

0）。进一步，若f′（x）>0（<0），则f（x）在I上严格递增（减）。

特别需要注意的地方是：若f在（a，b）上（严格）递增（减），且在点a右连续，则f在［a，b）上也（严格）递增（减），对右端点b有类似结论。

利用函数单调性证明不等式的关键就是构造辅助函数。通常构造辅助函数的方法是将所证不等式两边做差或者做商，或者直接构造辅助函数，利用定理4判断该函数的单调性。根据函数的取值情况得到所要证明的不等式。

例4 证明：当x>0时，有2x+1>2+xln2。

分析：该不等式既可以用拉格朗日中值定理证明，只需稍加变形，即证明2x+1－2x>ln2。也可以在不等式两边做差，利用函数单调性证明。这里仅介绍第二种方法：

证明：设函数f（x）=2x+1－2－xln2，则f′（x）=（2x+1－1）ln2。可知当x>0时，f′（x）>0，且f（x）在x=0点连续，因此f（x）在区间［0，+

上严格递增。故当x>0时，f（x）>f（0）=0，即2x+1>2+xln2。

除了不等式两边做差这种形式之外，还可以将不等式两边做商来构造辅助函数。接下来，给出一个不等式两边做商的例子。

例5 证明：2xπ

证明 设函数 f（x）=sinxx，0

1，x=0。

为了得到该函数的单调性，求其导函数f′（x）=xcosx－sinxx2，x∈0，π2。为了判断其符号，进一步令g（x）=xcosx－sinx，那么g′（x）=－xsinx<0。因此，g（x）在区间0，π2上严格递减，故当x∈0，π2时，g（x）

若上述例题采用做差法构造辅助函数，会发现不等式的左端不容易证明。

例6 证明：当t>1时，有12t－1

1，x∈［0，1］。

证明：设f（x）=xt+（1－x）t，x∈［0，1］。其导函数为f′（x）=t（xt－1－（1－x）t－1）。令f′（x）=0，得x=12。

可知，当00。故f（x）在区间0，12上递减，所以f（x）f（12）=12t－1，得到不等式的左端。当12

1时，f′（x）0。故f（x）在区间12，1上递增，所以f（x）f（1）=1，即得到不等式的右端。

注意到在证明上述例6的过程中，构造辅助函数既没有用到做差，也没有用到做商。而是直接构造了辅助函数。在解决实际问题时，需要通过观察分析所要证明的不等式，以确定采取正确的方法构造辅助函数。

3 利用函数凹凸性证明不等式

判断函数凹凸性作为导数应用中的一个重要方面，在证明不等式中也发挥着重要的作用。

首先给出凸（凹）函数的定义。

定义1［4］：设f为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点x1，x2和任意实数λ∈（0，1）总有f（λx1+（1－λ）x2）

λf（x1）+（1－λ）f（x2），则称f为I上的凸函数。反之，如果总有f（λx1+（1－λ）x2）λf（x1）+（1－λ）f（x2），则称f为I上的凹函数。

若函数二阶可导，有下面重要的判定定理。

定理5［4］：设f为区间I上的二阶可导函数，则在I上f为凹凸函数的充要条件是f″（x）0 f″（x）

0，x∈I，可以利用凹凸函数的定义证明不等式。

例7 证明：对任意实数a，b，有ea+b2SymbolcB@

12（ea+eb）。

证明 设函数f（x）=ex，则f″（x）=ex>0。故f（x）为（-SymboleB@

）上的凸函数。令λ=12，则1－λ=12，从而f（12a+12b）=f（a+b2）SymbolcB@

12f（a）+12f（b）=12［f（a）+f（b）］。即得所证不等式。

我们知道闭区间上的连续函数一定有最大最小值。再结合该函数的凹凸性，就得到了下面重要的性质。

定理6［4］：（1）若f（x）是区间［a，b］上的凸的连续函数，则f（x）

max{f（a），f（b）}；

（2）若f（x）是区间［a，b］上的凹的连续函数，则f（x）max{f（a），f（b）}。

可以利用该性质证明一些不等式，在此过程中，需要构造函数，常用的方法是将不等式两边做差。

例8 證明：sinπx

π22x（1－x），其中x∈［0，1］。

证明：设函数f（x）=sinπx－π22x（1－x），那么f′（x）=πcosπx－π22（1－2x）， f″（x）=π2（1－sinπx）0。

因此f（x）为［0，1］上的凸的连续函数，故由定理6得f（x）

max{f（0），f（1）}=0，从而推出所证不等式。

此外，还可以应用著名的詹森不等式来证明不等式。下面给出詹森不等式的一般形式。

定理7［4］：若f为［a，b］上的凸函数，则对任意xi∈［a，b］，λi>0（i=1，2，…，n），∑ni=1λi=1，有f∑ni=1λixi

∑ni=1λif（xi）。若f为［a，b］上的凹函数，则有f∑ni=1λixi∑ni=1λif（xi）。

例9［4］ 设A，B，C是三角形的三个内角，证明不等式sinA+sinB+sinC

323。

证明：设函数f（x）=sinx，x∈（0，π）。可知f″（x）=-sinx<0，故f（x）是（0，π）上的严格凹函数。根据詹森不等式有sinA+sinB+sinC3sinA+B+C3=3sinπ3=33，其中，当且仅当取A=B=C=π3时，等号成立。

数学是一门高度抽象且多变的学科，因此，灵活掌握证明不等式的方法有一定的难度，需要进行大量的练习。证明不等式的方法不限于本文介绍的几种，其方法灵活多样，因此要求大家平时要多练习、多总结。在这个过程中，不仅能够培养学生的数学思维，同时也能提高学生的推理能力，符合现代数学学习的核心素养。

参考文献：

［1］四川大学数学学院高等数学教研室.高等数学［M］.北京：高等教育出版社，2020.

［2］赵天绪，阎恩让.高等数学［M］.北京：高等教育出版社，2013.

［3］同济大学应用数学系.高等数学［M］.北京：高等教育出版社，2014.

［4］华东师范大学数学系.数学分析［M］.北京：高等教育出版社，2019.

基金项目：1.陕西省宝鸡文理学院研究生教改项目（YJ20JGYB04）；2.陕西省宝鸡文理学院重点教改项目（20JGZD06）；3.国家自然科学基金项目（12101014）

作者简介：许俊莲（1982— ），女，汉族，山西临汾人，博士，副教授，主要从事小波分析在非参数统计估计中的应用等研究。