含空腔的两端固定壁板的发散失稳研究

梁森, 宋巧治, 李晓东

(中国飞机强度研究所,西安 710065)

壁板结构广泛应用于机身蒙皮、机体弹仓、高铁车窗等各类实际工程,并随着我国航空工业、高铁事业的发展,壁板结构所受来流工况愈发复杂,各种边界条件下的壁板气动弹性稳定性问题逐渐引发重视[1-4]。文献[5-6]基于超音速壁板常用的分析模型,研究了温度、气流角度、尺寸和边界条件对颤振的影响;文献[7]针对双侧不同来流的悬臂壁板稳定性问题进行了计算,并分析了质量比和二维理论对失稳边界预估的影响;文献[8-9]通过设计流场特征、施加流动约束等手段,对悬臂壁板式能量采集器的失稳流速、运动幅值进行设计;在文献[10]针对含有赫兹接触的单侧受流壁板的非线性振动研究中,发现该型壁板因非线性接触产生极限环运动;文献[11]采用算子理论和风洞试验等方式,获得了倒置悬臂壁板的失稳边界,为弹性结构静气弹失稳问题的研究提供了思路。含空腔的两端固定壁板是壁板结构中的一种典型形式,文献[12-13]发现该种壁板失稳为发散失稳,且基于势流理论的气动力计算方法适用于该种工况;文献[14]探究了空腔对壁板的影响,并指出研究其振动模态和频率对进一步了解该工况具有实际意义。

目前,关于亚音速流下含空腔的两端固定壁板稳定性问题,多以无黏无旋不可压缩理想流体假设下的单侧受流简支板模型为研究对象,对于不同边界条件、空腔壁面、失稳模态快速判断等方面研究仍有待深入,且实际中流体黏性、湍流度等非理想因素往往不可忽视,囿于非理想流体的复杂性,其对空腔壁板失稳影响的研究仍较为有限。本文旨在解决上述问题,主要基于势流理论、薄翼理论、Bernoulli方程、Galerkin法等手段建立及求解运动方程,建立一种快速的失稳模态判断方法,同时考虑多种非理想因素,以期揭示边界条件、流体黏性、湍流度、空腔壁面对壁板稳定性的影响规律。

1 含空腔的两端固定壁板运动模型

1.1 结构模型

图1所示为典型的含空腔二维亚音速壁板结构简化模型。该壁板前后缘固定(简支-简支、简支-固支、固支-固支)于空腔壁面上,假设空腔深度无限,该壁板厚度为b,长度为l,壁板上表面有沿x方向流速为U的均匀来流,来流密度为ρ。

图1 空腔壁板简化模型

本文旨在揭示该壁板系统的失稳特征,气动压力下弹性壁板的横向弯曲振动方程可表示为

Kw-gw(ρ-ρs)=δp2-δp1

(1)

式中:ρm为壁板材料密度;ρs为空腔内流体密度;d为阻尼系数;T为板的轴向力;w为板的变形函数;B为板的弯曲刚度。

(2)

式中:E和υ分别为板的杨氏模量和泊松比。图1中的弹簧支撑等效为连续弹性体对壁板的支撑刚度K。δp1和δp2分别为作用于壁板上、下表面的气动力。

1.2 气动力模型

基于理想流体假设,得壁板上表面流体势函数为

(3)

其中

(4)

由Bernoulli方程,获得壁板上表面压强δp1为

(5)

对于壁板下表面气动力,做理想流体假设,且忽略空腔深度,采用镜像点源法模拟结构的AB、CD壁面影响,点源布置如图2所示。

图2 镜像点源布置

点源位置为:

rj=ξ,2l-ξ,2l+ξ,4l-ξ,4l+ξ,…,2ml-ξ,2ml+ξ

sj=l-ξ,l+ξ,3l-ξ,3l+ξ,5l-ξ,…,

(2m-1)l-ξ,(2m-1)l+ξm=1,2,3,…,∞

(6)

空腔内流体的势函数为

(7)

从而获得下表面压强为

(8)

1.3 运动方程离散

设壁板的结构变形为

(9)

采用Galerkin法对方程离散,则:

(10)

其中:

(12)

(13)

将式(10)引入扩展矩阵,即

(14)

考虑系统静态失稳,即det(A)=0时系统失稳。

2 壁板稳定性分析

2.1 简支-简支板

引入简支-简支板模态函数,即

(15)

当det(A)=0时,有

(16)

只考虑单一阶失稳模态,则i=j,有I1ij=I1ii…I6ij=I6ii,并引入无量纲量,即:

(17)

式中:D为无量纲频率;Fr为Froude常数;Q为无量纲动压。

则系统方程可简化为

(18)

忽略空腔内外流体密度差影响,当系统发生静态(发散)失稳时,D=0,则可获得Froude数为

(19)

将式(19)对i求导,并令其等于零,得

3i4CB+i2CT-CK=0

(20)

求解i值并取该值的下一个整数,即为系统失稳主要模态。

基于式(20),可对两端简支壁板失稳主要模态进行快速判断,并对只考虑该阶模态的失稳临界流速进行快速计算。图3与图4分别为考虑不同阶次模态耦合下,轴力CT、刚度CK与动压Q的关系。

图3 CT-Q关系图

图4 CK-Q关系图

图中选取的CT、CK对应的失稳主要模态为一阶;与Weaver等[15-18]计算结果对比可知,该种方法计算结果更接近于Weaver解;CT、CK增大能显著提高系统的失稳流速,且只考虑失稳主要模态的计算结果与考虑系统耦合模态的失稳结果差异较小,只考虑失稳主要模态的分析方法能够保证计算精度。

2.2 固支-固支板及简支-固支板

固支-固支壁板模态函数为:

(21)

简支-固支壁板模态函数为:

(22)

引入固支-固支板及简支-固支板模态,获得失稳模态关系为

(23)

其中固支-固支模态βi=i+1/2,简支-固支模态βi=i+1/4。所求解i值的下一整数,即为失稳主要模态。

图5与图6分别为针对以上3种边界条件计算的失稳边界,可以看出,针对不同边界条件,CT、CK增大仍能够有效提高系统的失稳流速。

图5 不同边界条件的CT-Q关系图

图6 不同边界条件的CK-Q关系图

3 非理想因素的影响

前文主要是基于理想流体假设进行研究,下文将针对流体黏性、湍流度及空腔壁面3种非理想因素展开计算分析。

3.1 流体黏性

引入黏性张力Tx表征流体黏性作用,系统控制方程为

Kw-gw(ρ-ρs)=δp2-δp1

(24)

假设壁板表面的流体满足Blasius层流边界层理论,则黏性张力Tx[19-20]为

(25)

其中:

(26)

式中:ρ为来流密度;U为流速;Cd为阻力系数;ν为流体黏度系数;Re为雷诺数。

将式(24)展开,有:

(27)

其中

(28)

考察无轴向力和无支撑刚度情况,可以获得雷诺数Re变化对于失稳边界的影响,如图7所示。

图7 Re对失稳边界的影响

由图7可知,低雷诺数下系统临界流速明显升高,这是黏性边界层的黏性张力对系统起到了增稳作用;而当雷诺数Re>2 000后,随着流体边界层厚度减小,流体的黏性张力作用减弱,系统的失稳边界接近于理想无黏流体的结果。因此,对于壁板气动弹性问题,当雷诺数Re≫2 000时,忽略黏性力是合理的。

3.2 湍流度

引入湍流度系数Cpeiψ[21-22],其中Cp为湍流度幅值,ψ为波的相位。由于含空腔的壁板只有上表面有气流流动,则只在上表面的气动力δp1中引入湍流度系数。

δp1=Cpeiψδp1p

(29)

(30)

将考虑湍流度的气动力引入方程并进行离散:

(31)

(32)

考虑实际工况中湍流度范围[21],对Cp取值0.4～1和ψ取值0～1 rad进行稳定性分析,结果如图8所示。

当湍流度系数为Cp=1、ψ=0时,系统为理想层流状态,其动压与前文计算值吻合。对于固定的Cp值,系统的临界动压随着ψ的增大而增大;而当ψ值固定时,系统的临界动压随着Cp的增大而减小。

3.3 壁面影响

空腔壁面对壁板影响的表征是由式(6)中的镜像法布点源实现的,引入间距系数ε,使点源位置分布为:

(33)

调节ε值改变镜像点源的间距,研究壁面对壁板稳定性理论解的影响,结果如图9、图10所示。

图9 CT-Q与空腔壁面的影响关系

图10 CK-Q与空腔壁面的影响关系

可以看出,该工况下空腔体壁面对系统失稳边界的影响不明显。

4 结论

1) 基于主要失稳模态的单阶模态分析能够获得较精确理论解,在理论计算中可以忽略多阶模态耦合和空腔壁面的影响。

2) 系统临界动压随CT、CK的增大而提高,意味着在壁板表面施加轴向拉力和对壁板施加支撑约束能够有效提高临界失稳流速。

3) 低雷诺数下流体黏性较大,黏性对壁板产生较强的增稳作用,提高了临界动压;当Re≫2 000时可以合理忽略黏性作用。

4) 湍流度对系统失稳边界有较强影响,理想层流状态湍流度系数为Cp=1、ψ=0;当Cp恒定时系统的失稳临界动压随ψ的增大而增大,而当ψ取作定值时临界动压随Cp的增大而减小。