Wolter-Ⅰ型X射线聚焦镜有效面积仿真与实验

张洪林，杨志韬，王于仨，赵子健，马佳，侯懂杰，杨雄涛，祝宇轩，杨彦佶，陈勇，汪世杰

（1 哈尔滨理工大学 理学院，哈尔滨 150080）

（2 中国科学院高能物理研究所 粒子天体重点实验室，北京 100049）

0 引言

X 射线聚焦镜的有效面积是评估聚焦镜性能的关键指标之一，它主要表现为聚焦镜收集光子的能力。对于探测器本身，其有效面积等于自身的探测灵敏面积，但是由于宇宙背景辐射的存在和观测源本身的流强不稳定，单靠探测器的有效面积收集到的光源信息，往往存在很高的背景噪声，探测灵敏度也很低。在实际的天文观测中，为了增加探测器的有效面积，收集更多的光子，提高观测数据的信噪比，会在探测器前装配聚焦镜，由于X 射线很难以透射方式聚焦，因此不能用可见光学的透镜，而掠入射光学系统则得以广泛应用。

聚焦镜的有效面积需要经过地面标定与在轨标定，地面标定受光源与聚焦镜之间的距离限制，入射光具有一定发散角，无法达到与在轨标定相同的平行光入射条件。对于Wolter-Ⅰ型掠入射光学系统，不同的掠入射角度，X 射线的反射率不同，实际集光面积也同样存在差异，因此地面标定的有效面积也会存在一定的偏差。

地面标定装置的长度决定着标定结果接近在轨标定的程度，美国航空航天局在为“坎德拉”卫星标定时建造了马歇尔地面标定装置［1］（X-ray Calibration Facility，XRCF），该装置真空管道长500 m，是国际上最长的地面标定装置。德国马-普地外物理研究所（Max Planck Institute for Extraterrestrial Physics，MPE）为“能谱-琴伦-伽马”卫星任务建造了PANTER［2］地面标定装置，真空管道长130 m。中国科学院高能物理研究所于2012年提出建设百米标定装置［3］，该装置主要承载我国第一颗X 射线天文卫星（Hard X-ray Modulation Telescope，HXMT）［4］的测试，以及未来完成我国X 射线标定的相关任务。为了解决地面标定的偏差问题，MPE 对Wolter-Ⅰ型载荷聚焦镜标定时，采用了分扇区标定［5］的方法，以减小地面标定产生的偏差，这种方法理论上扇区越多越接近在轨标定，但是实际标定时多扇区标定产生的误差也越大，往往达不到理想中的效果。

针对中国科学院高能物理研究所百米标定装置产生的有效面积偏差，利用光学仿真软件建立爱因斯坦探针（Einstein Probe，EP）的后随载荷聚焦镜（Follow-up X-ray Telescope，FXT）地面标定和在轨标定模型，选取铝（1.49 keV）、钛（4.51 keV）和铜（8.05 keV）三种不同靶材的特征辐射作为X 射线源，分析两种模型中聚焦镜的有效面积，并结合地面标定实验数据推算在轨标定有效面积。不同于以往聚焦镜的在轨有效面积只能通过在轨运行时进行测量，通过本文研究内容，可以根据地面标定结果计算出在轨时的标定结果，增加聚焦镜在地面实验时对其在轨运行性能评估的准确性。对离轴时的有效面积仿真分析与实验，得出聚焦镜离轴角度对有效面积的影响结果，从而更直观地了解地面标定测得的聚焦镜有效面积和在轨标定时的有效面积之间的关系，并修正地面标定数据。

1 原理

1.1 Wolter-Ⅰ型聚焦镜原理

Wolter-Ⅰ型聚焦镜为掠入射X 射线聚焦镜，镜片由同轴共焦点的抛物面与双曲面相接而成，抛物面与双曲面镜片的轴向长度相等，X 射线在两个面的内壁进行两次反射聚焦成像，如图1 所示。为了提高同体积下聚焦镜的有效面积，Wolter-Ⅰ型聚焦镜一般采用多层嵌套结构，并且广泛应用于X 射线天文观测中。

图1 单层Wolter-Ⅰ型聚焦镜示意图Fig.1 Schematic diagram of single-layer Wolter-Ⅰ focusing mirror

平行于聚焦镜光轴入射的X 射线，先在抛物面镜片内表面发生第一次反射，反射后的X 射线在双曲面内表面发生第二次反射，最后X 射线向聚焦镜焦点位置汇聚。经过两次镜面反射，不仅可以减小焦距，还可抑制部分杂散光［7］。

1.2 X 射线反射原理

当X 射线的掠入射角θ小于发生反射时的临界角θc时可以在介质表面发生反射，根据菲涅尔反射率公式［8］，可以推出X 射线的反射率Rreflectivity的表达式，即

式中，σ为内壁粗糙度；λ为入射X 射线波长；；δ为介质的极化特性系数，β为介质对X 射线的吸收系数，可分别表示为

式中，re为电子的经典半径；N为原子数密度；e为电子电荷量；Ne为介质中单位体积的自由电子数；me为电子的静质量；c为真空中的光速；f1和f2为原子散射因子。

2 建立仿真模型

2.1 X 射线源参数

聚焦镜地面标定测试时，X 射线光源与聚焦镜距离为103.5 m，选用点光源模拟地面标定使用的X 射线源；聚焦镜在轨运行时，选用平行光源模拟天体发出的X 射线。光源的参数配置如表1 所示。

表1 光源参数Table1 Light source parameter

ZEMAX 软件中不提供X 射线光源，仿真中调用每种特征辐射对应的镜片反射率库，以此产生与X 射线光源相同的效果。标定测试中采用的X 射线源为多靶源［9］，将选用铝、钛和铜三种靶材特征辐射作为X 射线源。

FXT 载荷聚焦镜采用镍镀金工艺［10］，X 射线入射在镜片上的金膜表面并发生反射时，掠入射角越小，反射率越高。相同的掠入射角度，能量越低的X 射线在镜片上的反射率越高。由式（2）可以得出铝、钛和铜三种靶材的特征辐射在镜片上的反射率随入射角度变化曲线，如图2 所示。

图2 不同能量X 射线反射率曲线Fig.2 X-ray reflectance curve with different energy

2.2 有效集光面积分析

入射X 射线需要完全覆盖镜片表面的抛物面区域，根据每层镜片的抛物面开口面积在聚焦镜前设置相应透光孔径的光阑，用来遮挡照射在抛物面以外的光线，光阑的透光部分面积就是聚焦镜的有效集光面积。

当以点X 光源照射镜片时，其光路如图3 所示。点光源到光阑的距离为L=103.5 m，光阑的最大透光孔径为R2，最小透光孔径为R1，每层镜片长度为300 mm，其中抛物面镜片和双曲面镜片长度均为a=150 mm，镜片抛物面最小半径为r，根据Media Lario［11］提供的每层镜片参数，计算出光阑最小的透光孔径

图3 点光源标定仿真模型光路Fig.3 Light path diagram of point light source calibration simulation model

当以平行光照射镜片时，其光路如图4 所示。选用半径为300 mm 的光源，可以完全覆盖每一层镜片的抛物面。此时设置光阑的透光孔径与镜片抛物面的最大和最小半径相同。

图4 平行光源标定仿真模型光路Fig.4 Light path diagram of parallel light source calibration simulation model

2.3 建立标定模型

以X 射线沿聚焦镜光轴传播方向为x轴正方向，建立坐标系［12］。抛物面截面方程为

式中，p为抛物面顶点的曲率半径。双曲面截面方程为

式中，a、b分别为双曲面的长半轴和短半轴。双曲面顶点曲率半径Rh为

双曲面圆锥系数K为

非序列模式中，选择标准面建立Wolter-Ⅰ型聚焦镜的模型。聚焦镜焦距为1.6 m，探测器放置在焦点位置，使用单像素矩形探测器代替地面测试使用的硅漂移探测器 （Silicon Drift Detector， SDD），如图5 所示。

图5 有效面积仿真光路Fig.5 Effective area simulation light path diagram

3 有效面积

3.1 聚焦镜正轴有效面积仿真分析

使用ZEMAX 非序列模式中的光线追迹，可以从复杂的X 射线光学系统中求解出探测器平面上的点扩散函数。仿真使用的分析光线条数设置为1.0×109，以此来保证X 射线经过镜片反射后到达探测器时接收到的光线条数不少于1.0×106。

单层镜片的有效面积Asin可表示为

式中，Pbef为透过光阑未入射镜片前的X 射线总功率；Paft为发生二次反射之后的总功率

54 层嵌套聚焦镜的最外层镜片编号#1，依次向内标记至#54。镜片越大，其掠入射角度越大，反射率越小。以铝为靶材时，如图6（a）所示，镜片越大，有效面积越大；X 射线点源测得的有效面积大于平行X 射线源。

图6 两种模型下每层镜片的有效面积Fig.6 Effective area of each lens layer under two models

以钛为靶材时，如图6（b）所示，由于光子能量较高，反射率受掠入射角度影响较大，#1～#9 镜片反射率基本为0，#9 之后的镜片出现X 射线反射效果，单层有效面积随镜片层数呈先增大后减小的趋势，并且每层镜片在点X 射线源的有效面积大于平行X 射线源下的有效面积。铜靶和钛靶类似，如图6（c）所示，其光子能量更高。#1～#23 镜片探测不到明显的反射现象，#23 之后的镜片有效面积先增大后减小，点X 射线源下的有效面积依然大于平行X 射线源下的有效面积。

铝、钛和铜三种靶材的特征辐射下，聚焦镜的总有效面积如表2 所示。本文方法得出的聚焦镜有效面积与其他方法得出的基本一致［13］。对于EP-FXT 的Wolter-Ⅰ型聚焦镜，在地面标定条件下，使用X 射线点源入射聚焦镜时，有效面积要比在轨平行X 射线入射镜片时偏大，且随X 射线光子能量的增加，反射率随角度的变化越明显，有效面积在不同光源入射时的偏差比例逐渐增大，这种现象与图2 的结果一致。

表2 不同光源入射的有效面积比较Table 2 Comparison table of effective areas with different light sources

3.2 聚焦镜离轴有效面积仿真分析

对聚焦镜进行离焦+40 mm、以0.05°为间隔，1°以内的离轴分析。在离焦、正轴的条件下聚焦光斑均为二次反射光，此时聚焦镜的理想成像如图7（a）所示。当对聚焦镜进行0.05°间隔的离轴时，成像出现依次向外延展的一次反射光，当离轴角度为0.5°时，成像结果如图7（b）所示。当离轴角度达到1°时，成像多数为一次反射光，只有中间少部分二次反射光，如图7（c）所示。

图7 离轴仿真成像图Fig.7 Off-axis simulation imaging

由于二次反射光为聚焦镜的有效收集光，聚焦镜表面反射率与入射角度相关，因此聚焦镜的离轴角度对有效面积有很大影响，将聚焦镜正轴时的有效面积视为1，有效面积随离轴角度的变化如图8 所示。当离轴角度达到10′时，有效面积较正轴工况减少约20%。

图8 仿真得到的有效面积随离轴角度的变化Fig.8 Variation of effective area with off-axis angle by simulation

4 有效面积标定测试

Wolter-Ⅰ型X 射线聚焦镜实验需要进行光学对准，光学对准过程主要分为三步：

第一步，将聚焦镜模块安装固定在真空大罐内部转台上，如图9 所示。在100 m 真空管道的另一侧为X光源，用532 nm 激光入射百米X 射线标定装置，光线与管道内部无接触并且光斑中心置于管道轴心，使聚焦镜轴心、SDD 中心与激光光束初步重合。

图9 真空罐内部Fig.9 Vacuum tank interior

第二步，将光屏置于聚焦镜后，调整聚焦镜转台，使激光束经聚焦镜汇聚在光屏成像无一次反射光，如图10。此时沿光轴方向调整光屏前后位置，初步寻找聚焦镜焦点位置，即光斑最小位置，并将SDD 和CCD相机调至此处。

图10 可见光对准Fig.10 Visible light alignment

第三步，关闭真空罐，用多靶X 射线源代替激光器，在高真空下使用X 射线对准聚焦镜。微调聚焦镜转台，使像为标准聚焦镜离焦光斑，如图11 所示。探测器进行多次扫描进一步微调，找到成像光斑最小时的位置，此时，CCD 相机的位置即为FXT 聚焦镜最佳焦点位置。此时将CCD 相机更换为SDD，测试平场计数和经过聚焦镜聚焦后的光子计数。

图11 离焦光斑Fig.11 Defocused spot

4.1 聚焦镜正轴有效面积实验结果

地面有效面积标定使用德国联邦物理技术研究院（Physikalisch-Technische Bundesanstalt， PTB）标定过的SDD，其灵敏面积为17 mm2。分别测试有聚焦镜能谱计数、平场能谱计数，有效面积表示为

式中，Aeff为聚焦镜有效面积，Adet为SDD 有效面积，Cmirror为有聚焦镜光子计数，Cflat为平场光子计数。

地面测试时为了得到连续能量范围的聚焦镜有效面积，选取铜作为X 射线靶材，设置管电压为16 kV，管电流为10 μA，获得连续谱，处理SDD 采集的数据统计相同时间内聚焦镜光子数与平场光子数，如图12（a）所示。计算得出连续谱下聚焦镜的有效面积，如图12（b）所示。

图12 实验标定结果Fig.12 Experimental calibration results

在图13（b）中选取与仿真分析相对应的X 射线能量，得到聚焦镜地面标定的有效面积分别为339.80 cm2@1.49 keV、73.57 cm2@4.51 keV 和29.47 cm2@8.05 keV。由于地面标定与在轨标定光源掠入射角度不同，通过仿真分析得出地面标定大于在轨标定的有效面积，两种标定有效面积的偏差比例分别为2.7%@1.49 keV、3.0%@4.51 keV 和4.0%@8.05 keV，对地面标定数据进行修正，推测出在轨有效面积为330.74 cm2@1.49 keV、71.43 cm2@4.51 keV 和28.34 cm2@8.05 keV。

图13 离轴实验成像结果Fig.13 Off-axis experimental imaging results

4.2 聚焦镜离轴有效面积实验分析

聚焦镜在离焦+40 mm 位置处，进行离轴0.5°和0.95°的成像，如图13 所示。离轴二次反射光斑成像与仿真基本一致，根据一次反射光可以看出，少部分一次反射光有明显交合，这是由于镜片制作加工过程复杂，微小应力作用或者镀膜工艺差异都会改变镜片的面型，从而影响镜片的性能［14-16］，这也是聚焦镜有效面积实际测试结果偏低于理想模型的原因。

控制转台，以0.05°为步长，进行离轴实验，得到有效面积随离轴角度变化曲线，如图14 所示。实验得到的有效面积随离轴角度变化与仿真结果（图8）趋势基本一致，当离轴角度达到10′时，有效面积只有正轴工况的80%，这也说明X 光源出射的中心方向与聚焦镜的轴心共轴是很重要的。

图14 实验得到的有效面积随离轴角度的变化Fig.14 Variation of effective area with off-axis angle by experiment

5 结论

本文对Wolter-Ⅰ型聚焦镜的地面标定与在轨标定进行仿真，分析不同标定方式对有效面积与离轴有效面积的影响。在IHEP 标定厅的百米X 射线标定装置中，对Wolter-Ⅰ型聚焦镜进行了X 射线束的测试。通过仿真分析得出，聚焦镜在地面标定的实验条件下其有效面积要大于在轨有效面积，在铝的特征辐射下，偏差比例为2.7%@1.49 keV。实际地面标定实验中测得聚焦镜有效面积为339.80 cm2@1.49 keV，对地面标定结果按仿真分析得出的偏差比例修正，得到在轨有效面积为330.74 cm2@1.49 keV，符合FXT 的指标要求。该研究对X 射线聚焦镜通过有地面标定结果推算其在轨有效面积提供了有效方法，并会作为修正地面与在轨标定差异的基础，EP 卫星发射成功后，将进行在轨标定，结合两种标定数据，可进一步研究两者之间差异的修正方法。所得结果可对未来Wolter-Ⅰ型X 射线聚焦望远镜的标定工作有一定的参考价值。