例析高中数学问题解决的引导策略

毛嘉欣

摘要：本文以课本例题、课外练习、高考真题为例，从问题情境、问题表征、模式识别、变式问题四个角度分析了高中生数学问题解决能力的培养，通过例题的解析阐述解决数学问题的四种引导策略：理清问题，跳出情境；多元表征，探寻思路；识别模式，注重积累；变式问题，关注发展.

关键词：问题解决；问题情境；问题表征；模式识别；变式问题

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2023）15-0056-03

关于问题解决的理论国内外一直有不少研究，如经典的波利亚[1]解题理论、喻平[2]对数学问题解决的认识等.在数学课堂教学中，问题解决可以看成是一个过程性活动，包含了问题情境、问题表征、问题提出、问题拓展等要素.随着新课改的推进，课堂教学越发重视对学生发现和提出、分析和解决问题能力的培养[3].作为数学教师，不仅需要从分析问题情境、灵活表征问题、注重识别模式、拓展变式问题等角度培养学生的问题解决能力，还需要在平时帮助学生积累一定的问题模式，厚积薄发，使学生在面对问题时更易产生新的思路.

1 理清问题，跳出情境

数学问题常与一定的情境联系在一起，在提倡数学与生活、其他学科间联系，提升学生解决实际问题能力的今天愈发突出[4]. 但是，已有研究表明，不少学生比较畏惧数学阅读理解题，觉得无从下手. 因此，解决这类问题的前提是理清问题，跳出情境[5]，具体来说即为梳理题意，简化情境表达，将复杂文字表述转化成与所求联系密切、更易发现情境背后蕴含的数学关系或规律的结构形式，以便后续进行分析、推理和运算. 在求解问题时，教师应帮助学生提高数学阅读能力，使学生学会边读题，边对情境中蕴含的关键信息进行分析、整理，以更好地将情境转化为数学问题.

例1为有效防控新冠疫情从境外输入，中国民航局据相关法律宣布从2020年6月8日起实施航班熔断机制，即航空公司同一航线航班在入境后核酸检测结果为阳性的旅客人数达到一定数量后，由民航局对其发出“熔断”指令，暫停该公司该航线的运行（达到5个暂停运行1周，达到10个暂停运行4周），并规定“熔断期”的航班量不得调整用于其他航线，“熔断期”结束后，航空公司方可恢复每周1班航班计划.已知某国际航空公司A航线计划每周有一次航班入境，该航线第一次航班被熔断的概率为12，且被熔断的一次航班的下一次航班也被熔断的概率是12，未被熔断的一次航班的下一次航班也未被熔断的概率为23. 一条“熔断期”的原计划航班不记入该航线的航班次数，记该航空公司A航线的第n次航班被熔断的概率为pn.

（1）求p2；

（2）证明：pn-25为等比数列；

该题题设较长，初读不易立即找出题中蕴含的数学关系，可以在读后调整好心态，再次阅读、速览甚至跳过介绍问题背景信息的冗长文字，找出并简化处理包含数字的主要信息，理清思路. 就本题而言，可将“达到5个暂停运行1周，达到10个暂停运行4周”简记为“5个→停1周，10个→停4周”；而对后续的一组概率，由于涉及相邻两次航班被熔断的概率关系，可以以树状图的形式将其表示出来（参考图1），使问题的呈现方式更符合大脑的认知加工模式以跳出情境.

结合上图易得对于（1），第2次航班被熔断的概率为条件概率，需分第1次航班是否被熔断进行思考，则有p2=12×12+12×13=512；对于（2），由于pn表示第n次航班被熔断的概率，若将图1转化为更为简洁的数学符号语言，易得递推公式pn=12pn-1+13（1-pn-1）n≥2，同时有p1=12，由此即将情境转化成了数学问题. 推导易得pn-25pn-1-25=16n≥2，又∵p1-25=110，故数列pn-25是以110为首项，16为公比的等比数列.

2 多元表征，探寻思路

问题表征是指问题在学生脑中的呈现方式[6]，其表现形式包括系统间表征和系统内表征：前者指在文字表征、图形（表）表征、符号表征、操作性表征四种数学表征系统间的表征转换；后者包括变量替换、初等几何变换、恒等变形、映射变换.表征方式的不同会影响学生对问题的理解，进而影响解题思路的发现[7]. 在平时的课堂教学中应有意识地引导学生从多个不同的角度思考问题，转变学生看待问题的角度，提高学生思维的灵活性、解决问题的能力与效率.

3 识别模式，注重积累

数学是一门研究模式的科学.而模式识别作为一种解题策略，最早源于人工智能领域，具体内涵是指在解决数学问题时，关联、调用有关知识识别眼前模式以解决问题[8]. 它以问题表征为基础，又是实现解题迁移的前提条件.在平时的教学中，教师不仅应有意识地揭示自己的思维过程，教会学生观察、分析问题以发现思路、识别模式，帮助学生实现从“知其然知其所以然”到“何由以知其所以然”的转变，也应进一步归纳总结、提炼模式，使学生在今后遇到复杂问题时能够自主进行分解、转化，尽量往熟悉的思路、模式上靠拢，减少出现头脑空白的状况.

例3 （2022新高考Ⅱ卷22） 已知函数fx=xeax-ex.

（3）设n∈N*，证明：112+1+122+2+…+1n2+n>lnn+1.

不难发现要证不等式中，不等号的左边是n项和的形式，右边为1项，因此可以试着从两个方向转化求解：一是通过消项求得左式的n项和，或对左边各项进行放缩得到与右式有关又易于求和的形式；二是通过构造，将右边 1项拆成n项和的形式，继而逐一与左边的每一项进行大小比较. 对于112+1+122+2+…+1n2+n，一时不易从头脑中搜索到有关的求解模型，而对于lnn+1，常见拆分模式是将其转化为lnn+1=lnn+1-lnn+lnn-lnn-1+…+ln2-ln1+ln1=lnn+1n+…+ln21=ln（1+1n）+ln（1+1n-1）+…+ln（1+11），此时，要证的命题就转化为1n2+n>lnn+1n或1n2+n>ln（1+1n）. 这时，如果直接就这一形式构造相应的函数，构造出的函数似乎有些复杂.又注意到在后一个关系式中，右边出现了1n，左边也易于转化为与1n有关的形式，因此可将要证的命题进一步转化为1n1+1n>ln（1+1n），进而构造函数g（t）=t1+t-ln（1+t）（t=1n）. 而为方便之后求导，可将其进一步转化为g（t）=t+1-11+t-ln（1+t），并令x=1+t=1+1n以将其改写为更易于求导的形式g（x）=x-1x-2lnx，此时只需通过求导证明g（x）>0（x∈（1，2］）恒成立即可证得原题.

4 变式问题，关注发展

题后拓展是问题解决的重要一环，在解决问题后通过改变部分条件提出新的问题，如求解逆命题、一般化后的命题等，可以让学生在一系列的问题变式中意识到问题是多样的，体会知识的关联，提高思维的灵活性，促进知识的迁移，最终提高学生解决问题的能力，以在面对非常规的、需要进行一定思维努力的问题时敢于尝试，敢于类比、联想，产生独具个人风格的思路.

例5 已知Sn是等比数列an中的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，求证：a2，a8，a5成等差数列.

该题是人教A版选择性必修二《等比数列》中的一道习题，学生借助等比数列的概念及求和公式容易证得结论，教师在教学中可以进一步设置如下变式问题以引导学生加深对等差与等比数列联系的认识：

变式1已知Sn是等比数列an中的前n项和，Sp，Sp+q，Sq成等差数列，求证：ap，ap+q，aq成等差数列.

结论：对于等比数列，在公比不为1的条件下，3项前n项和 （n最大的那项放中间，且n最大的那项的项数等于另两项的项数之和） 成等差数列与对应数列或各项的项数差一个常数情况下的对应数列成等差数列等价.

参考文献：

［1］ 波利亚.怎样解题[M].北京：科学出版社，1982.

［2］ 喻平.数学教育心理学[M].南宁：广西教育出版社，2004.

［3］ 杨勇.核心素养下高中数学问题解决策略[J].教学与管理（中学版），2019（11）：60-63.

［4］ 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M].北京：人民教育出版社，2020.

［5］ 林伟.核心素养“三会”视域下数学阅读的教学实践[J].福建中學数学，2021（9）：12-15.

［6］ 余建国.模式识别理论指导下的数学解题教学：以一道高考解析几何题为例[J].教育研究与评论（中学教育教学版），2019（8）：64-68.

［7］ 谢海燕，姜慧慧，张晋宇，等.我国八年级学生数学表征能力的调查研究[J].基础教育，2016（1）：65-70.

［8］ 于文华.基于数学问题解决的模式识别研究述评[J].数学教育学报，2012，21（3）：11-16.

［责任编辑：李璟］