分类讨论思想在高中数学中的应用

叶碧桃

摘要：在数学学科的教育教学过程中，分类讨论思想受到了众多数学工作者的关注.分类讨论能够极大提高教学的质量，同时对于分类讨论又要充分把握统一分类方法的基本准则，做到分类无重无漏，精简而没有任何冗余.

关键词：高中数学；分类讨论；生活；体现

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2023）15-0002-03

分类讨论思想是指引导学生们在进行数学综合解题练习的过程中，了解到问题发展变化中所包含的各种因素.抓住各个问题来确定这些发展变化中的影响条件及可能条件的具体取值及范围.在问题讨论过程中对问题合理分类，对于学生在数学解题以及应用方面具有重要的现实意义.

1 高中数学分类讨论在解决数学问题过程中的体现形式在日常高中数学解题训练和应用实践中，使用数学分类的思想方法进行解题，一方面可以起到帮助学生找到化解数学难题的思路，另一方面还有助于培养并发展其数学思维.

如在数学函数类解题方式中，采用数学分类或讨论等思想方式来进行函数解题，确实是比较实用可行的.在实际使用数学分类及讨论的思想方式来进行函数分类解题教学时，要先明确不同的分类函数对自身参数的一般定义要求和一般限制的条件要求各有不同.因此对于函数问题，必须要在该函数本身概念的前提下，逐个进行分类与讨论，才能为正确的解题过程提供必要的保障[1].

如在分解讨论“对数函数和指数函数”的问题时，就更需要先明确其对数函数本身的概念，以上面这样做的另一道函数习题为反例“假设a>0且a≠1，比较｜loga（1-x）｜和｜loga（1+x）｜的大小”，在对这一函数问题逐条进行分类讨论时，要尽可能地明确“对数函数”概念和“指数函数”函数的基本概念是什么，两者概念之间又存在一些怎样的关系，就可以直接将一个指数函数直接转化为一个对数函数，这样我们才能进一步对函数x的变化范围等作出更进一步的讨论，从而得出我们最终想要的正确答案.因此，在用高中数学函数知识的分类概念和讨论方法解题分析时，根据所学函数概念内容进行综合分类与讨论，才是每个学生在今后的解题思路中首先要注意的.

2 分类讨论高中数学中五大知识板块的应用

数学教师在引导学生进行分类讨论前，首先需要明确分类讨论需要完成的目标，并以此為基础，进行后续的分类讨论教学活动.在数学教师引导学生分类讨论完成的过程中，需要按照考纲的指示与要求，并以学生的实际学习情况为切入点，进而对学生在新课程学习过程当中所遇到的问题进行分析与解决，同时还需要恰当地处理数学必考模块与数学选考模块之间的关系，以及数学基础理论知识与数学试题之间的关系.因此，学生在分类讨论的过程中需要做到三个方面：首先，学生在分类讨论时应准确把握重点知识内容，并加强对重点知识分类讨论的完成力度，同时还需要梳理和归纳易错易混的数学难点，并以此查缺补漏，对数学难点的分类讨论进行完成与巩固；其次，学生需要以第一轮分类讨论完成的内容为基础，构建数学知识框架，绘制思维导图，进而完成数学知识的衔接与整合，使学生在运用数学知识时，能够全方面、多角度地看待数学问题；最后，学生需要对高考的各个题型进行深入的探究，并在探究过程中挖掘具有通用性和综合性的知识内容与解题思路，从而提高自身的应试技巧[2].

2.1 根据函数类型进行分类讨论

在使用函数分类的思想来讨论高中数学的解题思路时，要根据其函数类型来进行具体的讨论.如在对二次函数中的应用题进行分析的过程中，问题主要分为：定轴动区间函数问题和定动轴动区间函数两种基本类型.

由于函数类型的基本特点不同，在函数动轴动区间的问题正好恰恰相反.在一个动轴动区间函数分类问题中，通常会有比较明确的具体区间，需要直接依据此区间，对其不确定性质的函数关系式问题进行求解.因此在直接使用函数分类讨论问题思想解题时，需要对该函数关系式区间的种类进行详细讨论，并针对题目中所给的具体区间来进行求解.在分类讨论函数解题规律时，明确函数类型也十分重要.

2.2 应用于数列问题的解题思路

分类讨论思想除了在教学方面具有一定的研究意义，同时对于数列方程的分析也具有重要的推进作用.比如在一些数列分析题型中，题目没有给出明确的公比值特定取值等，在解决这一类题型中如果运用分类讨论的思想，并能够在解题过程中综合考量公比值的范围，最后可以通过分析类比，得到一个具体的比值取值范围.因此，应用分类讨论的思想，对数列问题的解题十分重要.

例如，在学生解答“假设等比数列公比为q，前n项为Sn>0（n=1，3，），求q值”这是一种数列问题，由于该题目没有给出确切的q值，所以运用分类讨论的方法，可以让学生在解题过程中对于数据的分析更加方便，并通过更加深入的分析，对于q=1或者q≠1两类情况进行综合比较，最终得出q的值.

2.3 在三角函数中的应用

根据角度的变化大小，函数思想方法历来都贯穿于整个高中数学课程教育中，分类讨论这种复合解题的思路方法被广泛适用.

如果题目是锐角三角形时，要首先注意前提条件.例如：sina=13的正弦值为正，可能是在第一象限或者第二象限的角；cosa=13余弦值为正，a可能是第一或者第四象限的角，计算斜率K=tana是应该考虑a等不等于π2等.

2.4 应用于概率问题的解题思路

在数学解题过程中，概率问题具有很多解题方法.而运用分类讨论思想对于概率问题进行解题.则是重要的解题方法之一.

在解答关于高考的这类问题以及备考期间，高三学生如要想有效地利用好这些数学分类方法或讨论方法，必须先学会以具体的问题作为主要切入点.

如一家连锁中式早餐店每天就只会专门限量地出售两种清粥、馒头包子和另外一种包子.粥类只有这三种：大米粥、小米粥和绿豆粥，每份价钱大约在1.5元；而馒头也只有两种：红糖馒头和牛奶馒头，每个1元；肉馅包子只有一种三鲜大肉包，每个价格约3元.陈某最近在这家店第一次吃早餐，花了将近4元的钱，假设陈某以后每次去的早餐价格都不重样，问他第一次吃到这个包子的价格中奖概率到底又是多少呀？

由题文可知，花费金额为每人4元馒头的组合公式为：

（1）先要分别再从上面3种粥类2种馒头中依次随机的选种，然后分别再依次从各种粥和馒头中再各选取其1种，共得出6种粥馒头组合；

（2）再先要分别从3种以上的粥类馒头组合中依次选出其中的1种，然后依次再选出其中的1个三鲜大肉包，共依次选出3种粥类馒头；

（3）随机地选择馒头，共随机选了1种.总选择的概率情况数是共有6+3+1种=共取10种.吃馒头到吃包子的总选择的概率情况是共取3种，选择概率数为取3/10.

2.5 应用于集合问题的解题思路

现阶段，在数学学习过程中，集合类问题在众多数学问题中占有较大比重.在对数学集合类问题进行运算与训练分析过程中，学生们可以先运用分析比较的方法对各类元素进行归类，确定各元素之间的关系.

集合类问题通常是以数学单项判断填空集合形式和数学综合单项选择判断形式的组合形式，出现在一些普通和高考试卷中，很少发现有以数学单项选择计算形式为主的集合形式试题.所以请广大理工科学生朋友们在解集合类数学问题的时候，适当注意对分类数学问题进行回答问题和分析计算.比如：1∈{lna，a}求a的可能值.可以分lna=1和a=1.

由于有些高中数学题目难度较大，且有些数学题目答案要求中往往规定必须同时包含许多解题参数，因此我们教师必须要学会应用数学中的分类式和讨论分析法思想，将上述这类题目答案要求中列出的包含许多参数信息的若干数学答案，先进行归纳与讨论，然后分析总结出最终答案，最后再逐个对这些数学答案进行分类并统一有序地归纳整理，从而基本完成对每一道数学题目的统一解答[3].

3 分类讨论可运用于教材与生活的联系，融入到培养核心素养中在高中阶段的数学学习当中，由于与实际生活之间具有一定的联系，因此数学教师可以根据这一特点来引入生活中的一些实际问题，帮助学生更好地理解數学的概念知识.在数学教学过程中，教师通过在概念的解释过程中引入实际问题，可以让学生更好地感受数学源于生活的意义.在这一过程中，学生可以将数学与生活紧密结合在一起，提高了对于数学学习的积极性与兴趣[4].

将数学知识分类思想与问题讨论式思想直接融入整个高中数学水平考试中，贯穿于整体分析思维过程和设计框架之中，使广大高考学生都能轻松地进行全方位、多角度的解题分析思考，从而全面实现高中学生综合实践能力素质的快速提高.

参考文献：

［1］ 李琳，闫笑丽.浅谈分类讨论思想在高中数学中的应用［J］.才智，2019（04）：116.

[2] 徐佳环.分类讨论思想在数学解题方式中的研究［J］.佳木斯学院学报，2019（01）：159-160.

[3] 姜华.探讨分类讨论，在高中数学函数解题中的应用［J］.高中数理化，2019（4）：34.

[4] 吴爱民.分类讨论思想在高中数学解题中的应用［J］.数学学习与研究，2021（12）：129-130.

［责任编辑：李璟］