从整体建构的视角处理教材带星号习题

周美清

各种版本的数学教材中都出现了带星号的习题。在对教材中带有星号的习题进行研究的过程中，笔者发现，如果孤立地呈现一道带星号的习题，让学生独立完成，大部分学生会有困难。但如果教师站在整体建构的角度去解读习题，将习题加工成有逻辑意义的学习材料来引导学生学习，带星号的习题不仅不难，还能帮助学生建构完整的知识体系。下面，笔者以人教版小学数学教材六年级上册第五单元练习十五中带星号的第16题“有一根绳子长31.4米。小红、小林和小东分别想用这根绳子在操场上围一块地，怎样围面积最大”为例，阐述如何从整体建构的角度处理带星号的习题。

一、创设问题情境，激发兴趣

为了激发学生的探究兴趣，笔者将习题中的问题融合在故事情境中。课件呈现故事：从前，一位将军为国家立下大功。国王为了嘉奖他，决定奖励他一块土地。这一天，国王召见将军，拿出了3根长度不一的绳子，对将军说：“你为国家做出了非常大的贡献，朕决定奖励你一块土地。这块土地的大小需要用你的智慧来做出决定。我这里有3根绳子，它们的长度分别是100米、200米、400米，从中选出一根绳子，用它围成一块长方形或者圆形的土地，你能围多大，得到的土地就多大。”

问题1：如果你是将军，你选哪根绳子？和同桌分享你的理由。

学生一致选择400米的绳子，理由是绳子越长围成的图形面积会越大。

问题2：选400米的绳子，你准备围成长方形还是圆形呢？

生：围成圆形只有一种情况，但围成长方形有无数种情况。需要算一算再比较。

生：可是要把围成的各种不同情况的长方形面积算出来，情况太多了，每种长方形的面积都得计算，好麻烦。

在学生已经感受到“400米”这个数据给探究带来困难的情况下，教师利用课件出示：我国著名的数学家华罗庚爷爷说：“当我们遇到复杂的数学问题时，可以把它转化成简单的数学问题来探究，从中发现规律后，再去解决复杂的问题就很容易了。”

师：读了华爷爷这段话，你们有没有新的想法？

生：我们可以把绳子的长度换成较小的数，這样围成的长方形情况会少，计算起来容易。

在这个教学环节中，教师以问题引发冲突，激发学生的探究兴趣，引导学生体会：周长越长，面积越大。进而思考：周长相同时，什么图形的面积最大呢？引导学生用到化难为易的数学思考方法。

二、化难为易，发现规律

建构主义认为，知识是学习者在一定的情境下，借助他人（包括教师和学习伙伴）的帮助，利用必要的学习资料，通过意义建构的方式获得的。所以，能帮助学生获得意义建构的学习材料的呈现就显得尤为重要。

教师利用课件呈现学习单中的学习材料一：用一根16厘米长的铁丝围长方形，你们能想到几种不同的围法（长与宽取整厘米数）？有序思考，算一算每个图形的面积，把结果填入如下表格中，观察表格，和同桌分享你的发现。

学生在探究分享的过程中发现，可以围成的长方形有四种不同的情况：长7厘米，宽1厘米；长6厘米，宽2厘米；长5厘米，宽3厘米；长与宽都是4厘米。从而发现其中的规律：当周长一样的情况下，长与宽越接近时，长方形面积越大，如果长与宽相等时，就是一个特殊的长方形，即正方形，它的面积是最大的。

在这个教学过程中，教师通过学习材料引导学生经历探究发现规律的过程，为后面应用规律解决“将军围地”的问题提供了必要的思维支架。

三、学以致用，应用规律

有了对周长为16厘米的各种长方形面积的比较得出的规律，进而解决学习单中材料二的问题：将军选400米的绳子，围成长方形还是圆形呢？

学生通过计算得到如下两种情况。

1.如果围长方形，要让围成的长方形面积最大，长与宽是：400÷4=100（米），面积是：100×100=10000（平方米）。

2.如果围成圆形，面积是：3.14×（400÷2÷3.14）2≈12741（平方米）。

所以400米长的绳子，围成的圆形面积比长方形的面积大，将军应该选择用它围成圆形。

这一教学过程，实际上是学生对前面简单问题中发现规律的利用，是对化难为易数学思考方法的深刻感悟。

四、追本溯源，解释规律

经过两次利用学习材料探究，学生感悟到：1.在周长相等的长方形中，长与宽越接近，面积越大，其中长与宽相等（即正方形）时的面积最大；2.周长相等的正方形和圆形，圆的面积大于正方形的面积。但这一感悟是基于特定的数据探究得到的，如何引导学生经历从特殊到一般的过程，需要教师引导学生深入思考。

师：学习到这里，你们有新的思考与疑问吗？

生：我想知道，如果绳子的长度是别的数据，围成的圆形面积还是最大吗？

生：我的问题与他一样，为什么周长相等时，圆形的面积比正方形的面积大？

师：我给你们的问题点赞。通过探究，我们得到了一个正确的结论，这还不够，当我们进一步自发地思考这个结论背后的原因时，我们的思考才更加深入。学习数学的过程就是不断地在学习中产生新的疑问的过程。那么，你们会如何解答他们提出的这个问题呢？

教师利用课件呈现学习单中的学习材料三：周长相等时，圆形的面积一定大于正方形的面积吗？学生想办法证明，完成后和同桌分享想法。在这个过程中，很多学生再次用举例子的方法，也有少部分学生用证明的方法。

生：我是再举了一个例子，为了方便计算，我把周长定为是314米时，正方形的面积是：（314÷4）×（314÷4）=6162.25（平方米），圆形的面积是：3.14×（314÷2÷3.14）2≈7850（平方米）。圆形的面积大于正方形的面积。

生：我可以不用具体的数据计算。周长一定的情况下，正方形的面积=（周长÷4）2=周长2÷42=周长2÷16；圆的面积=（周长÷3.14÷2）2×3.14=（周长÷6.28）2×3.14=周长2÷6.282×3.14=周长2÷12.56。所以，周长相等时，圆的面积大于正方形的面积。我这样证明了无论周长是多少，圆形的面积都会大于正方形的面积。

至此，在整个学习过程中，学生通过教师针对带星号题深度加工的学习材料，完成了对带星号题的系统探究，经历了从问题情境中感受用化难为易的数学思想方法发现规律、应用规律、解释规律的全过程。从而完成对“周长一定的长方形、正方形及圆形面积比较”这一知识的整体建构，既复习了长方形、正方形、圆形三种平面图形面积的计算方法，又在计算中发现它们的面积与周长之间的关系，有思考又有联系。

当我们从整体建构的角度去处理带星号的习题时，避免了习题点状化、碎片化给学生探究带来困难的情况，有效地帮助了不同层次的学生“跳一跳摘到果子”，增强了学生挑战难题的勇气与信心，使他们获得素养与思维的提升。

（作者单位：江西省万年县第二小学）