高逼近阶对偶框架的迭代算法

2023-06-02 06:10:03范子宁杨守志

汕头大学学报（自然科学版） 2023年4期

范子宁，杨守志

（汕头大学数学系，广东汕头 515063）

0 引言

框架的概念最早由Duffin 和Schaeffer[1]在1952 年提出，他们将框架作为研究非调和傅里叶级数的工具.后来，Daubechies 等[2]在1986 年观察到框架可以通过级数展开来表示L2（R）中的函数.从那时起，人们便开始广泛且深入地研究框架理论.目前，除了纯数学和应用数学之外，框架理论被广泛应用于其他领域中，例如信号处理[3]、图像处理、数据压缩、采样理论[4]、滤波器组[5]、信号检测等.特别是在信号分析中，当需要对给定的编码框架进行解码时，对偶框架是必不可少的.但是在实际情况下，对偶的计算是不精确的，有时甚至不能给出它的解析表达式.为了解决这个问题，Christensen 和Laugesen 提出了逼近对偶框架的概念[6].逼近对偶框架比典范对偶框架容易构造，且能拥有较好的性质.在应用中，逼近对偶的精度越高，它的逼近效果越好.在文献[6]中，Christensen 运用Neumann 级数展开理论给出了提高逼近对偶框架逼近阶的方法.本文基于Neumann级数展开理论，得到了提升逼近对偶框架逼近阶的迭代算法，分别将逼近对偶框架的逼近阶提升到O（q2p）阶、O（q3p）阶，甚至可以到达任意高逼近阶.

1 预备知识

定义1.1[7]假设H 是一个可分的Hilbert 空间，是H 中的一个Bessel 序列.如果存在正常数A 和B 使得

定义1.2[7]假设H 是一个可分的Hilbert 空间，Bessel 序列是H 的一个框架，定义一个线性映射T

T 被称为合成算子.它的伴随算子T*

T*被称为分析算子.定义算子S

则算子S 被称为框架算子.

定义1.3[7]S 为式（4）定义的框架算子，则S 具有以下性质：

（1）S 是自伴算子，即S*＝S；

（2）S 是线性有界且是正的，即AI≤S≤BI，I 是恒等算子；

（3）S 是可逆的，逆为S－1.

定义1.4[7]假设H 是一个可分的Hilbert 空间，分别是H 中的两个框架，若满足

则称框架F 为G 的一个对偶框架.

定义1.5[6]假设H 是一个可分的Hilbert 空间，在H 中有两个Bessel 序列和，它们的分析算子分别为T 和U.那么定义

则TU*（UT*）称为混合算子.Bessel 序列是对偶框架当且仅当TU*＝I 或UT*＝I.

定义1.6[6]假设H 是一个可分的Hilbert 空间，在H 中有两个Bessel 序列和，它们的分析算子分别为T 和U.若满足条件

或

下面定理告诉我们，逼近对偶框架和对偶框架具有以下关系：

定理1.7[6]假设H 是一个可分的Hilbert 空间，是H 中的一对逼近对偶框架，它们的分析算子分别为T 和U.那么算子UT*可逆；且构成对偶框架.同样的，也构成对偶框架.

为了提高逼近阶，Christensen 在文献[6]中使用Neumann 级数展开理论，把（UT*）－1gk展成级数：

2 逼近对偶的O（q2p）阶迭代算法

在具体应用上，条件I－UT*＜1（或I－TU*＜1）太弱，当范数值趋近于1 时，逼近速度非常缓慢.因此提高逼近对偶的逼近阶在实际应用中是非常有意义的.在文献[8]中，Kloos 提出了求框架算子S 的逆的一种迭代方法.这种迭代方法能很好地提升求逼近框架算子S－1的速度.本文将此想法应用于逼近对偶框架理论中，构造了一些拥有高逼近阶的逼近对偶框架的迭代算法.

令θpn＝Jpgn，P 为的分析算子，q＝I－UT*，那么的逼近对偶，也是且有

证明根据Jp的迭代式以及θpn＝Jpgn，可以得到

首先使用数学归纳法证明

假设上式对p＝k∈N 成立，当p＝k＋1 时，有

接下来我们使用数学归纳法证明

假设上式对p＝k∈N 成立，即

当p＝k＋1 时也成立.根据算法，有

根据Neumann 级数展开理论，可以把（UT*）－1写成下面的形式：

因此有

3 逼近对偶的O（q3p）阶迭代算法

基于上面的迭代算法，我们还可以构造逼近阶更高的迭代算法.在这个迭代算法下，逼近对偶的逼近阶可以达到O（q3p）.

令ζpn＝Rpgn，L 为的分析算子，q＝I－UT*.那么的逼近对偶，且有

证明根据Rp的迭代式以及ζpn＝Rpgn，可以得到