分析难点 设计铺垫 提升能力——高段学生解决一个几何问题的研究

□ 蒋燕芬

学生在数学学习中，总会遇到一些有难度的题。这些难题的教学若处理不当，容易让学生丧失学习信心，对数学学习产生恐惧。若处理得当，则可让学生感受到问题解决的愉悦，助力其形成对数学学习的良好体验。

一、问题的提出

学生在学习人教版教材五年级下册“长方体和正方体”单元时，遇到了这样一道题：

一个棱长是3cm 的正方体零件，从它的正面、上面、右面的中心位置各挖去（凿穿）一个边长是1cm 的正方形孔（如图1）后，把这个零件浸没在底面边长是5cm 的装有水的长方体容器中。水面上升了几cm？

图1

用这道题对五年级88名学生进行测试，正确率约为31.82%（下文称这个问题为“较难题”）。能否不通过教学活动，即不通过师生对话或生生对话，而是由教师编制一组铺垫题，让学生独立解决，以提高学生解决这类较难题的正确率和表达水平，从而提升学生的数学能力与核心素养？本文试图探究设计这样的铺垫性题目，以帮助学生解决较难题。

二、研究的对象与过程

笔者选取了一所乡镇学校五年级两个班共88名学生作为研究对象。这些学生升入六年级后，笔者继续把他们作为研究样本进行研究。

研究过程分为以下七步。

第一步，学习五年级下册教学内容时，对学生进行第一次较难题测试。

第二步，分析学生的解题困难点。

第三步，根据学生的解题困难点，设计一组相应的铺垫题。

第四步，学生独立解决铺垫题。

第五步，对学生进行第二次较难题测试。

第六步，九个月后（六年级下学期），对学生进行第三次较难题测试。

第七步，分析研究，得出研究结论。

三、铺垫题及其设计思路

要设计出有效的铺垫题，需要先了解学生的解题思路。笔者用前文提到的这道较难题对88名五年级学生进行测试，能够正确解决这道较难题的有28人，约占31.82%；错误解题的有60人，约占68.18%。

（一）学生解决这道较难题的正确思路

正确解决这道较难题的学生，能够从整体到局部清楚解题的步骤，即先明确：挖去孔后的零件浸没到长方体容器中，上升水的高度=上升水的体积÷长方体容器的底面积；上升水的体积=挖去孔后零件的体积。再运用“挖去孔后零件的体积=原来正方体零件的体积-挖去的孔的体积”这一数量关系解决问题。其中，求出“挖去孔后零件的体积”是解题的关键步骤。学生有两种方法可以求“挖去孔后零件的体积”。

方法一：学生通过想象和计数得到挖去的是7个小正方体，直接用“原来正方体的体积”减去“挖去的7 个小正方体的体积”，即3×3×3-1×1×1×7=20（cm3）。这种方法可以称为“想象计数法”，用这种方法解题的学生约占11.36%（如图2）。

图2

方法二：先求出“原来正方体零件的体积”，再求“挖去的3个小长方体”的体积。因为“挖去的3个小长方体”中间重叠部分的那个小正方体多减了2次，所以要用“3个小长方体的体积”减去“2个小正方体的体积”。最后用“原来正方体零件的体积”减去“挖去的孔的体积”。即3×3×3=27（cm3），1×1×3×3-1×1×1×2=7（cm3），27-7=20（cm3）。这种方法可以称为“整体思考法”，用这种方法解题的学生约占20.45%（如图3）。

图3

（二）学生解题难点的分析以及解决办法

通过对学生解题过程的分析，可以发现，不能正确解决这道较难题的学生遇到的困难主要有以下两种。

1.难点一：不能想象出挖去部分的形状

（1）约9.09%的学生不能想象出挖去部分的形状是有重叠部分的3 个长方体，以为只挖去了从图上能看到的正面、上面、右面的3 个小正方体（如图4）。

图4

（2）约5.68%的学生认为挖去的是正方体表面的6个小正方体（如图5）。这部分学生除了看得到的3 个小正方体，还能想象到相对的面还有3 个小正方体，但是他们无法想象正方体零件的最中心位置（中间重叠部分）还有1个小正方体。

图5

【预设帮助学生克服难点一的方法】

设计铺垫题能让学生明白“凿穿”是什么意思，看到挖去的不是只有面上的那几块，而是一块一块叠起来形成的一个长方体，一直从这一面通到对面。可以将挖去（凿穿）的部分用色彩突出显示，将原本需要想象的图形可视化（如图6），让学生形成表象。

图6

2.难点二：不能想象出挖去的3个小长方体有重叠部分

（1）约22.73%的学生认为“挖去的孔的体积”就是“3 个小长方体的体积”，即挖去了9 个小正方体。这部分学生不能想象出挖去的3 个小长方体有重叠部分。

（2）约17.05%的学生用“1×1×3×3- 1×1×1=8（cm3）”计算“挖去的孔的体积”，也就是说，这部分学生知道有重叠部分，但只减去了1个重叠的小正方体的体积。

【预设帮助学生克服难点二的方法】

（1）设计“挖去2 个小长方体”的图式，并将中间“重叠”的小正方体用不同的色彩突出显示（如图7），让学生看见重叠的这个小正方体，并想象挖去的这2 个小长方体重叠的部分是“1 个小正方体”。

图7

（2）把正方体零件“切开”，让学生进一步涂色，涂出那些被“挖去的小正方体”，即把里面看不见的方块变成可见，通过操作强化挖去部分的形状和大小（如图8）。之后要求学生闭上眼睛想一想，哪些是被挖去的小正方体，让学生从看得见的直接操作上升到能够运用表象进行思考。

图8

基于对较难题的正确解题思路和学生解题难点的分析，笔者设计了以下两道铺垫题。

铺垫题1：从一个棱长是3cm 的正方体零件上面的中心位置，挖去一个边长为1cm 的正方形孔，直到穿过它的对面（如图6）。

（1）这个零件剩下的体积是多少立方厘米？再想一想挖去部分的形状和大小。

（2）把这个零件浸没在底面边长是5cm的装有水的长方体容器中。水面上升了几厘米？

铺垫题2：从一个棱长是3cm 的正方体零件的上面、右面的中心位置，挖去一个边长为1cm 的正方形孔，直到穿过它的对面。

（1）看一看图7，想一想挖去部分的形状是怎样的。如果看成是2个小长方体合在一起，那么它们重叠的部分是什么形状？

（2）看一看图8，想一想挖去了哪些正方体，并把挖去的这些正方体涂上颜色。

（3）求出图7这个零件挖去孔后的体积是多少立方厘米。

四、测试结果与分析

在学生完成第一次较难题测试的三天后（在这三天中，既没有教给学生与较难题相关的内容，也没有让学生做相关的练习），让学生先独立完成铺垫题，再用较难题进行第二次测试。九个月后，用较难题进行第三次测试。测试结果及分析如下。

（一）第二次较难题测试结果及分析

学生独立完成铺垫题后，进行了第二次较难题测试。与第一次较难题测试的情况进行比较，可以得到以下结果。

（1）解题正确率提高。通过先独立完成铺垫题，再做较难题，学生解题的正确率从第一次的31.82%提高到70.45%。

（2）解题时间缩短。第一次测试时，解答正确的学生平均用时3.6分钟；第二次测试时，平均用时缩短到1.9分钟。这说明学生的思维速度加快了。

（3）表达水平提升。在第二次测试中，能够正确解决较难题的学生，画图说明思路的达到了64.52%，用文字说明算式含义的达到了100%。和第一次测试时相比，第二次测试时，学生能用清晰的语言和算式进行表达，能用直观图式进行表征。

学生A 和B 第一次做较难题时，解答都是错误的，但在第二次做较难题时，解答就正确了。学生A 第一次做较难题时，虽然知道有重叠部分，但只减去了1 个重叠的小正方体的体积。独立解决铺垫题后，学生A 第二次做较难题时，已经能够很好地运用“想象计数法”解决问题（如图9），清晰地想象出挖孔后零件每一层的情况，并能用直观图式表征出来，还能用清晰的语言和算式进行表达。

图9

学生B 第一次做较难题时，不能想象出挖去部分有重叠。第二次做较难题时，她已经能很好地运用“整体思考法”解决问题（如图10），并清楚地描述出“中间有2个小正方体是重复算的”。

图10

（4）解题思路拓展。经过铺垫题的训练，学生计算较难题“挖去孔后零件的体积”时，出现了四种方法。

方法①：先直接求出挖去的小正方体个数是7个，再用“3×3×3-1×1×1×7=20（cm3）”算出“挖去孔后零件的体积”。

方法②：直接将每层剩下的小正方体的个数进行累加，即8+4+8=20（cm3）。

方法③：先计算“挖去3 个长方体的体积-2 个小正方体的体积”，即1×1×3×3-1×1×1×2=7（cm3），再计算“挖去孔后零件的体积”，即27-7=20（cm3）。

方法④：先用“原来正方体的体积-挖去的3个长方体的体积”，再加上“最中间被多减了2次的小正方体的体积”，即3×3×3-1×1×3×3+1×1×1×2=20（cm3）。

方法①和方法②可以归类为用“想象计数法”解决问题，方法③和方法④可以归类为用“整体思考法”解决问题。

第一次较难题测试时，多数学生不能正确解决问题。在做了铺垫题后再进行第二次较难题测试，能够正确解题的学生数上升了，正确率提升了38.63%。在这些学生中，约22.72%的学生用“想象计数法”计算“挖去孔后零件的体积”，余下15.91%的学生则运用“整体思考法”解决问题。第二次较难题测试结果说明：铺垫题为学生运用“想象计数法”提供了很好的帮助；学生的空间观念得到了改进；运用“整体思考法”的难度大于运用“想象计数法”的难度。

在进行第二次较难题测试时，笔者还给学生增加了一道延伸题。延伸题在较难题的基础上作了一点改变，把较难题中的棱长改为了4cm，其他的条件与问题都不变。因此，在解题思路上，两道题是基本相同的。学生解决延伸题的正确率约为42.05%，明显高于第一次较难题测试的正确率。图11 是一个学生解决延伸题时的解题过程，可以看出，该学生的表达很有逻辑性。

图11

虽然学生解决延伸题的正确率已经高出第一次较难题测试的正确率10%左右，但是远低于第二次较难题测试的正确率。两道题的解题思路基本一样，解题正确率却相差近30%，这是什么原因呢？仔细分析学生解决延伸题的过程，发现近30%的学生都是把挖去部分的体积算成了与较难题一样的体积。图12 是一个学生解决延伸题的过程，他就犯了这样的错误。

图12

可见，学生完成铺垫题、较难题的测试后，马上进行延伸题的测试，他们会受到较难题的影响，产生负迁移，错误地认为挖去部分的体积不变。

（二）第三次较难题测试结果及分析

在进行第二次较难题测试时，学生刚完成了铺垫题，铺垫题的解题思路无疑会对学生正确解决较难题产生积极的影响。如果过一段时间，在没有做铺垫题的情况下，直接让学生做较难题，学生还能够正确解决问题吗？根据艾宾浩斯记忆遗忘曲线，30 天后，人们对信息的记忆只剩21%左右。于是，笔者在九个月后，对学生进行第三次较难题测试。其间既不对学生进行相关内容的教学，也没让学生做相关的练习题（相应的教材与作业本中都没有相关的题目）。结果，第三次解决较难题的正确率约为80.68%，解决延伸题的正确率约为56.82%。学生在解题速度、解题思路的表达、解题方法的多元化等方面都表现得比较理想。学生这一表现说明，一方面，这两道铺垫题对解决这一类较难题起着积极的作用；另一方面，随着学生年级的升高，他们进一步学习了圆柱与圆锥的相关知识，这也促进了学生空间观念的发展。

五、研究启示

（一）从可视（操作）到想象是培养空间观念的有效途径

空间观念是学生核心素养的表现之一，学生解决铺垫题和较难题的过程就是培养学生空间观念的过程。铺垫题的设计遵循了“从可视（操作）到想象”这一路径，学生解决较难题的正确率和表达水平得到明显提高，说明这一路径是培养空间观念的有效途径。

（二）部分学生在想象“组合几何体”的形状与大小方面存在困难

从上述三次测试可知，尚有20%左右的学生不能正确解决较难题，这是因为他们不能想象出挖去部分的这个组合几何体的形状与大小。在正确解决较难题的学生中，仍有部分学生不能将方法进行迁移应用，正确解决延伸题。这些都说明要提升学生的能力，培养空间观念这一核心素养。