新高考背景下高中数学思维培养策略

卢燕霞

摘   要：纵观2020年以来的新高考数学试题，启示教师课堂教学可从创设教学情境、深度概念教学、问题解决策略、问题解决后反思等方面着手，加强对学生的数学思维的培养，搭建平台，促进学生在学习交流中，提升学生的数学核心素养.

关键字：教学情境；概念教学；数学思维；培养策略

纵观2020年山东卷和2021年全国新高考卷，不难发现，与2020年前全国卷比较，整份试卷对学生的思维要求越来越高，这与新高考理念“在秉承素养导向、能力为重的原则下，突出考查数学基本思想与方法、重在考查学生的理性思维和探究能力”相吻合.为了更好地适应新高考要求，教师要认真思考如何在课堂教学中训练學生的数学思维.鉴于此，笔者结合十几年来的教学和教研经验，谈谈在课堂教学中培养学生数学思维的一些策略.

1  创设教学情境，培养思维的积极性

《课程标准（2017年版2020年修订）》在课程性质与基本理念中指出“高中数学教学应该创设恰当的教学情境，设计恰当的教学问题，引发思考，培养浓厚的学习兴趣”.因此在教学活动中，教师应根据教学内容、教学目的设置恰当的情境及问题，让学生掌握好知识的同时，数学学科核心素养也得到进一步的提升，学生思维的积极性也得到更好的培养.

例如，在学习“空间向量及其加减运算”时，教师可以提出一个问题： 2032年的某一天，某中学2022届高三（19）班举行10周年同学聚会，其中上午活动流程是这样：8：30所有同学到学校南操场集中并在签名墙上签字，期间同学可作短暂的交流；9：00到七九体育场领取由世界知名设计师胡丹燕同学设计的纪念T恤（本T恤由星星体育器械有限公司董事长刘总赞助）；9：30所有同学到燕子岩山脚下集中，准备参加上午的第一个活动；到目前为止我们同学的实际位移是什么？爬上燕子岩山顶后，同学们的实际位移又是什么？问题一抛出，学生兴致很高涨，马上进行激烈的讨论，带着疑问教师引入课题.

设计一个同学聚会的情境，激发学生好奇心，调动学生学习本节内容的兴趣，引导学生积极参与学习活动. 学生带着好奇心独立思考、自主探究，课堂氛围活跃. 这样设计课堂，有助于学生动脑思考、质疑问难，提出自己的见解，让学生在学习知识的同时，思维也得到一定的启发及培养. 整节课学生精神饱满，师生积极互动，当然就能较好地完成本节的教学目标.

2  深度概念教学，培养思维的深刻性

新高考对学生数学思维的抽象程度、逻辑推理和思维水平提出了更高的要求.要求学生要善于全面地、深入地思考问题，能运用逻辑思维方法思考与问题有关的所有条件，抓住问题的本质，正确、简洁的解决问题.这也是学生数学思维的深刻性的集中体现.

例如，湘教版新教材选择性必修第一册3.1“椭圆”的概念教学，可以这样设计：

用纸板、图钉、细绳（长度为2a cm）做一个实验. 用两枚图钉将2a cm长的细绳固定在一个纸板上，且保证两枚图钉间的距离小于2a cm，用铅笔拉紧细绳，让笔尖在纸上运动一圈，观察笔尖画出的图形，然后依次提出问题：

（1）如果把笔尖看作一个动点，那么动点的轨迹是一个什么图形？

（2）在移动过程中，绳子的长度发生变化了吗？动点应满足什么条件？

（3）能不能给它下一个定义？

（4）如何用符号语言来描述椭圆的定义？

（5）定义中应注意哪些关键词？

整个设计，通过数学探究活动，学生动手操作，以问题串形式，一步步引发学生思考、实践，让学生初步了解了椭圆的概念，接着引导学生自己给椭圆下定义，最后在教师的帮助下给出椭圆的准确定义.通过问题和思考引发冲突，学生经历了椭圆概念的发生、发展过程，更好地掌握了椭圆的本质属性.在课堂教学中，教师应精心设计各种问题，让学生思维产生冲突，以更好地调动学生思考，激发思维火花. 在概念教学中多提几个问题，不仅可以帮助学生更快更准确地掌握概念，而且可以引导学生认真分析问题、深度思考问题，更好地训练思维的深刻性.

3  注重一题多解，培养思维的发散性

国家要强大，就一定要培养年轻一代的创新意识，培养学生创新意识的重要途径是发展学生的发散性思维.而发散性思维可以通过“一题多解”来培养.在平时教学中，教师用一题多解的教学模式，从不同视角思考、不同方法解答，学生不满足仅得出题目答案，而是追求更快更好的解题方法，这有助于拓宽学生的解题思路，培养学生的发散性思维.

例1 （2021年全国甲卷·文16）已知F1，F2为椭圆C：+=1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且PQ=F1F2，则四边形PF1QF2的面积为________.

分析：本题主要考查椭圆的几何性质和几何图形面积计算等知识.求四边形面积时，可把四边形面积分解为多个三角形面积来计算，三角形面积的求解可利用坐标系这个解题利器，这里既考查了椭圆的对称性，又凸显了利用坐标系计算图形面积的简洁性.

解法1：由已知条件得PO=QO，利用点在椭圆上求出点P的坐标，再由对称性求出四边形面积.

由椭圆C：+=1可知F1F2=4.由P，Q为C上关于坐标原点对称的两个点，且PQ=F1F2，得PO=QO=2（O为坐标原点），所以P，Q既在椭圆+=1上，又在圆x2+y2=12上.不妨设点P在第一象限，则由

+

=1

x2+y2=12，可得P=（，），所以由对称性可得四边形PF1QF2的面积S=2S=2×·F1F2·yp=2××4×=8.

解法2：利用椭圆定义及对称性得出四边形是矩形，再用勾股定理求出.

由椭圆方程知a=4，b=2，则c=2.由椭圆定义知 PF1 +PF2=8 ①.由椭圆的对称性及知四边形PF1QF2是矩形，在RtΔPF1QF2中，由勾股定理得PF1 +PF2=F1F2，即 PF1 +PF2=48 ②.由①②得PF1·PF2=8，所以四边形PF1QF2的面积S=PF1·PF2=8.

解法3：这是一道填空题，利用二级结论“平行四边形的两条对角线的平方和等于四边的平方和”解题.

由平行四边形的性质知F1F2+PQ=2（PF1 +PF2），代入PQ=F1F2易得F1F2=4，所以PF1 +PF2=48.由椭圆定义，可得PF1·PF2=8.由椭圆的对称性及PQ=F1F2知四边形PF1QF2是矩形，所以四边形PF1QF2的面积S=PF1·PF2=8.

解法4：利用二级结论“焦点三角形的面积公式”可快速求解.

由椭圆的对称性及PQ=F1F2知四边形PF1QF2是矩形，且∠F1PF2=.结合b2=4及椭圆焦点三角形面积公式得四边形PF1QF2的面积S=2S=2b2tan=8.

“一题多解”的教学模式，不仅活跃了课堂氛围，巩固了学生的数学知识，还拓宽了学生的解题思路.学生在解题过程中不仅可以避免思维定势，还可从更多方面思考问题，从而更充分地培养学生的发散性思维.

4  注重解后反思，培养思维的严密性

很多学生反映，上课听得懂，课后也解了不少题，但在考试时却不会做，数学成绩迟迟得不到提高.究其原因，主要是由于这些学生解题时只注重速度，解完一题就过了，没有进行恰当的解后反思与悟其解题之秘，因此在日常教学中教师应该多培养学生的反思意识.通过对数学知识、蕴含思想、解题思路、解题方法的反思，更好地理解知识内涵、外延以及解题策略，提高解题效率，更好地培养思维的严密性.

例2  已知函数f（x）=在区间（-3，+∞）上单调递减，求实数m的取值范围.

错解：f'（x）=，依题意得f'（x）<0对任意的x∈（-3，+∞）恒成立，则3m-1<0，即m<，所以实数m的取值范围是（-∞，）.

正解：f'（x）=，依题意得f'（x）≤0对任意的x∈（-3，+∞）恒成立，则3m-1≤0，即m≤，当m=时，f'（x）==是常数函数，不合题意（舍去），

所以m<，所以实数m的取值范围是（-∞，）.

反思：本题出错原因是学生无法对“函数单调性”进行等价转换. 若函数y=f（x）在某区间上单调递增（或递减），则f'（x）≥0（f'（x）≤0）对区间的任意一个自变量成立，且f'（x）在它的所有子区间内都不恒等于零. 错解中学生在转化时出现错误，并且漏了检验当m=时函数f（x）是否为常数函数.

在课堂教学中，教师反复强调知识点、注意点还不如把问题真正落实到位，如面批面改，如在课堂上展示学生出现的一些错误等，让学生去发现问题、解决问题，并进行有效的解题反思：考查的知识点是什么、解题过程是否有理有据、相关条件是否考虑周全、解题答案是否正确合理等.显然，在整个反思过程中，学生的思维经历了从疏忽到严密的一个创新过程，学生的数学素养才能得到真正的提升.

5  注重变式拓展，培养思维的创新性

例题讲解时，进行恰当的变式拓展可以培养学生思维的创新性.通过设计变式教学，合理地改变问题情景或设计不同的思考方式，引导学生多思、多变，培养学生敢于质疑、善于思考的数学学习品质，从而培养思维的创新性.

例3 已知F1，F2，分别是椭圆+=1（a>b>0）的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使得·=0，则该椭圆的离心率的取值范围是__________.

思考1：将条件中的特殊关系（垂直）改为一般关系（如成120°角）.

变式1：已知F1，F2分别是椭圆+=1（a>b>0）的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使得∠F1PF2=120°，则该椭圆的离心率的最小值是__________.

思考2：将条件中存在性问题改为满足条件的点总在椭圆内，情况又如何？

变式2：已知F1，F2分别是椭圆+=1（a>b>0）的左、右焦点，若满足·=0的点P总在椭圆内，则该椭圆的离心率的取值范围是__________.

思考3：若记∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，則椭圆的离心率是否与α，β有关系？

变式3：已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若·=0，∠PF2F1=60°，则椭圆C的离心率是_________.

变式4：已知F1，F2，是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若记∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，则椭圆的离心率e为____________.（用α，β表示）

习题讲评是数学课的半壁江山，变式教学是数学习题讲评的一种有效方式.课堂教学中，教师应根据教学内容与目标精心设计题组，以学生为本，以教材为源，并对其进行恰当的变式训练，不但可以使学生的知识得到充分的巩固与运用，而且可以提高学生的应变能力，培养学生的数学素养，激发学生的创新思维.

总之，在培养学生数学思维的过程中，教师可以根据教学需要和学生实际，创设恰当的教学情景，进行深度的概念教学，注重培养学生一题多解、变式拓展，注重解后反思.通过各种手段，实现学生自主探究、激发求知欲、开阔知识视野，培养敢于质疑、善于思考的数学学习品质，从而培养学生的数学思维，使学生更适应新高考要求，更适应当代社会的要求.当然，

对学生数学思维的培养不是一蹴而就的，它需要一个长期坚持的过程.