数学归纳法教学实践与思考

张辉

[摘  要] 数学归纳法是高中数学教学的重要内容之一. 但在实际教学中，学生对它的实质、递推关系及从无限到有限的转化，在理解上存在一定的困难. 多米诺骨牌游戏作为递推思想的直观模型，应用在课堂教学中，能让学生类比出归纳法的实质与意义. 鉴于此，文章从归纳法教学存在的问题，以及教学实录分析等方面谈一些具体思考.

[关键词] 数学归纳法;递推;多米诺骨牌

数学归纳法是一种演绎推理，主要将无穷的推理过程转化为有限的推理步骤，这种方法是证明自然数相关问题的主要工具[1]. 随着新课改的推进，归纳法的应用越发广泛，它的来源、理论基础以及应用技巧等，受到教育界的广泛关注，但在实施过程中，仍然存在一些不足之处.

存在问题

数学归纳法教学，不论从单元出发，还是从本身出发，都应着重突出类比和归纳的再发现过程，强调培养学生的逻辑推理能力，为核心素养的形成奠定基础. 但在教学实践中，仍然存在以下几类问题：

1. 引入过于简单

有些教师存在“重解题，轻过程”的思想，归纳法的引入过于简化，着重将精力放在归纳法的实际应用上，致使不少学生无法理解其原理，特别是对于递推过程不胜其解，只能依靠生搬硬套而强行应用.

2. 缺乏整体考虑

伟大的数学家欧拉认为，类比与归纳是数学发现的重要工具. 有些教师，执教归纳法时，忽略了合情推理的过程，致使一些学生难以建构完整的认知结构，尤其是缺乏数学证明、推理的归纳法教学，使得学生错过了用类比获得数学“再发现”的良好时机.

3. 问题选择不当

有些教师在问题的选择上比较随意，无法凸显出归纳法得天独厚的优势，尤其是一些不用归纳法反而能更快、更简单地解决的问题，会让学生觉得归纳法是个累赘，没什么作用. 长此以往，学生的思维就会受到局限，无法发散.

教学实录评析

1. 问题情境，展示递推模型

问题：已知数列{an}，a1=1，an=（n=1，2，3，…），归纳该数列的通项公式.

生1：结合教材，本题应用合情推理可得an=.

师：哦？说说你的推理过程.

生1：通过审题，已知a1=1，将它代入式子an=，可得a2=;将a2的值代入an=，可得a3=，以此类推，可得an=. 这是通过不完全归纳所得的结论，至于结论正确与否，尚需证明.

师：那么有没有办法对它的结论一一验证？为什么？

生2：不行，验证只能以一个推导下一个，不可能验证无数个.

师：不错，此数列是无限的，对于无限的命题，我们无法用完全归纳法来验证. 因此我们应想方设法找出一种新的方法，将这种无限情况转化为有限的. 刚刚所提到的“以一个推导下一个”的递推方法在此是否有用？

生3：应该有用，但总感觉这种递推方法有点抽象.

师：确实有点抽象，如果能用直观模型进行演示，大家就会觉得简单多了. 多米诺骨牌大家知道吗？

生（众）：知道. （学生兴趣盎然）

评析 本节课的引例是学生熟悉的一个数列，通过其成功地唤醒了学生对完全归纳法和不完全归纳法的记忆，学生在自己的认知冲突中感知到：想要否定一个结论，用一个反例即可;但要肯定一个结论，则需要严谨的证明过程. 由此成功诱导了学生的“惑”，有效触动了学生的探究欲，让学生充分感受到了新方法的重要性，尤其是怎样将无限转化为有限的提议，为学生的思维指明了方向.

教师根据学生的身心特征，提出学生感兴趣的多米诺骨牌，成功地将抽象转化为直观，也明确了本节课的核心——递推，激发了学生继续深入思考与探究的欲望.

2. 条件探究，明确递推原理

用PPT演示多米诺骨牌（简称骨牌）游戏的动态效果，要求学生独立思考后讨论：在什么条件下，骨牌会倒下？

结论 ①排在第一的骨牌倒下，其他骨牌顺着倒下;②任意邻近的骨牌，前一张倒下，后一张也跟着倒下.

师：只要满足这两个条件就可以了吗？

生4：对的，简单来说就是1倒下→2倒下→3倒下……

师：也就是说，当第一张骨牌倒下时，咱们就能确定所有骨牌都将倒下. 为什么我们能这么肯定呢？

生5：第一张骨牌倒下必然会触碰到第二张，导致第二张骨牌倒下，以此类推，最终所有的骨牌都将倒下.

师：这应该是针对条件①而言，那么你们所获得的条件②有什么用呢？

生6：其实条件②就是递推，前一张骨牌的倒下，可递推出后一张骨牌倒下的必然性.

师：不错，条件②看似只是一个条件，但它却含有递推过程，那么条件①和条件②分别具有怎样的作用呢？

生7：條件①可以理解为推动的开始，条件②则为递推的过程，两者结合在一起就说明所有骨牌倒下.

师：非常好！若让你们来检查是否所有骨牌都能倒下，你们会观察什么？

生8：首先看第一张骨牌是否能够倒下，再逐个检查前一张骨牌倒下了，后面一张骨牌是否具备跟着倒下的条件.

师：也就是先查第一张骨牌“行不行”，再查递推“能不能”，只要满足了这两个条件，即可完成整个游戏. （板书关键词）

评析 多米诺骨牌游戏属于递推思想的一个重要模型，学生在自主思考与讨论后所获得的两个条件即数学归纳法的雏形. 想让后一张骨牌倒下，这两个条件是必不可少的. 于高中生而言，要透彻理解归纳法中的“若n=k时成立，证明n=k+1时，结论亦成立”稍微有点难度，至于“为什么要先假设n=k时成立呢？这个假设怎么能当作条件运用呢？”这些问题，由于过于抽象，导致很多学生难以理解，证明也只能是从形式到形式的过程. 为此，教师提出让游戏成立，需要观察些什么，就是针对以上难以理解的抽象内容所设置的，学生从直观形象的“骨牌游戏成立”的条件观察中，重点突出了检查的两项内容，并将这两项内容加起来，才能保证游戏的万无一失，这为后继教学奠定了基础.

3. 引例证明，生活实例类比

师：通过以上对骨牌游戏的分析，我们得到了一定的启示，那么该如何应用这些启示来解决引例这个问题呢？结合骨牌游戏与问题，我们可将骨牌游戏的条件①类比成问题中的什么？将条件②类比成问题中的什么？

（学生经过合作学习，获得结论，略）

师：非常好！那么在骨牌全部倒下时，又与什么相对应呢？

生9：与“数列通项a=，所有正整数n均成立”相对应.

师：不错！那么应该验证骨牌起始与递推这两点对应的引例问题的什么呢？

生10：只要验证条件①和条件②成立即可.

师：能具体说说吗？

生10：就是验证命题“若a=，则a=”成立. 验证过程为：若a=，根据递推关系可得a==.

师：我们可将递推的起始和过程都类比过来吗？

生11：可以，而且经过类比后，所获得的数列项（通项公式）是正确的.

师：现在回过头来思考，此过程是怎样将无限逐渐化为有限的？

生12：就是不断递推，也就是无数块骨牌都倒下的过程.

师：结合多米诺骨牌游戏与本节课的数列问题，我们在类比中获得了数列{a}的通项公式a=，这种类比、归纳推理的方法一般可用来解决哪些数学问题呢？你们能总结出一般方法吗？

学生再次类比数列通项证明与多米诺骨牌倒下的原理，经过自主分析与合作探究，归纳出了一般原理.

评析 由数列问题到多米诺骨牌游戏，再回归数列通项证明，整个过程自然、流畅，学生将自己所熟悉的生活实例与抽象的数学问题相对应，并探究出相应的列表方法，让知识变得更有条理. 同时有效帮助学生用类比的方法，解决了同类问题.

当学生的思维遇到卡顿点时，教师利用多米诺骨牌倒下的两个条件，与通项公式中的两个“验证”进行类比，顺利地解决了学生思维的障碍，帮助学生理解到数学归纳法的两个步骤，有效防止了流于形式的归纳证明.

因为有鲜活的生活实例与课堂引例作为教学的基础，所以本节课的归纳法原理抽象得尤为顺利. 同时，递推的类比过程着重渗透着递推思想，教师引导学生将无数骨牌倒下与通项对所有正整数成立相类比，获得了数学归纳法原理，成功地实现了无限到有限的过渡.

4. 辩证分析，获得相关原理

师：若想证明一个与正整数相关的命题，从归纳法原理出发，可怎么证明？

生13：此类命题的证明，主要是解决递推问题，先要证明第一步能行，也就是先证明n=1时命题成立，到第二步再证明具备递推的条件，即n=k时命题成立，那么n=k+1时命题肯定就是成立的.

师：分析得有道理. 现在我们将目光回到第一张骨牌来（用PPT演示起始骨牌未倒下），若将这个现象与数学归纳法的证明过程相结合，你们有什么感悟？

生14：从PPT的演示来看，第一张骨牌没有倒下，其他骨牌都没有倒下，也就是说当n=1时，命题不成立，后面的递推也就无法正常进行了，所以递推的关键条件不能缺失.

师：非常好！现在我们继续来看屏幕（用PPT演示第一张骨牌倒下，随之倒下几张骨牌后，后面的骨牌都没有倒下），将此现象推广到数学归纳法的证明过程，对你们有什么启发吗？

生15：要达到递推的条件，前面的骨牌倒下必须能带动下一张骨牌也倒下，也就是要确保递推对所有正整数n都是成立的，若有一个正整数n不能递推，则会导致后面的递推不成立.

师：不错，通过以上过程，我们可以再次确定两个条件缺一不可，条件①为递推的基础，条件②为递推的过程，将它们联系在一起，才能获得命题对任意正整数都成立. 大家再看屏幕（继续动态演示：第一张骨牌没有倒下，后面有一张骨牌倒下了，导致这张骨牌后面的所有骨牌都倒下），从中你们能看出这与数学归纳法相关的是什么吗？

生16：可以看出第一步并不一定为n=1，就像骨牌游戏一样，有可能会以第2、第3、第4……任意一张骨牌作为倒下的起始骨牌，导致后面的骨牌全都倒下. 从数学归纳法的角度来看，就是证明满足n≥n（n为正整数）均成立的与正整数相关的命题时，第一步是“当n=n时，命题是成立的”.

评析 递推法所涉及的两个步骤——“递推基础”与“递推过程”是不可或缺的关系，骨牌游戏分别以条件扮演的方式，彰显了递推法两个步骤的重要性，强化了学生对递推的任意性与无限性的认识.

此过程，将复杂、抽象的数学问题，用直观、形象的骨牌游戏淋漓尽致地展示了出来，让学生深刻认识到归纳法递推过程中条件的重要性. 上述演示，是完善学生认知的过程，让学生在原有的认知基础上，补充认识到归纳法的适用范围为关于正整数n（n≥1）的命题.

教学思考

1. 利用“再发现”突破教学难点

弗赖登塔尔提出，由“再发现”所获得的知识，远比被动接受来得更为深刻，也保持得更长久[2]. 新课标倡导遇到教学重点与难点时，应引导学生在独立思考、自主探索、合作交流中逐个击破难点. 而思考、探索与交流的过程，则属于知识“再发现”的过程. 本节课，教师利用骨牌游戏启发学生思维，让学生在类比中实现知识的“再发现”，突破了归纳法的学习难点，取得了不错的教学成效.

2. 利用“问题驱动”激活思维

问题驱动，顾名思义就是以“问题”为载体，通过对元认知的提示，激活学生思维，让学生在思考中展开探究，对知识形成深刻的认识. 在本节课的教學中，若选择一些简单的问题去引导，学生不免觉得奇怪——归纳法也没什么呀？我们为什么要学习这种方法呢？学习过程中，学生的思维会处于抑制状态. 而趣味十足的多米诺骨牌游戏的展示与有一定深度的问题的提出，则有效驱动了学生思维，让学生结合骨牌游戏与引例的类比、分析，不仅深刻体现了递推法需要满足的条件，还充分展示了归纳法在数学中的实际应用价值.

3. 以发展“核心素养”为目标

新课标提出，数学教学应发展与提高学生的“四基”、“四能”与核心素养，而核心素养又关乎每个学生的可持续发展[3]. 作为教师，应根据学情与教学任务，有选择性地应用各类教学手段优化教学，在提高教学实效的基础上，通过持之以恒的努力，加强学生逻辑推理能力的训练，以发展学生的核心素养.

总之，类比多米诺骨牌游戏推导数学归纳法原理，充分契合数学归纳法原理辨析和应用的要求，有效体现了生活素材在数学教学中的价值，为教师更好地实施数学教学提供了思考方向.

参考文献：

[1] 华罗庚. 数学归纳法[M]. 上海：上海教育出版社，1963.

[2] 弗赖登塔尔. 作为教育任务的数学[M]. 陈昌平，唐瑞芬，译. 上海：上海教育出版社，1995.

[3] 中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.