巧建坐标 速解涉及全反力的动力学极值问题

戴伟纲

摘   要：涉及全反力的极值问题的探讨有很多，其中对于全反力方向不变这一特定的情况，大多数学生采用力的合成的办法来将三角函数问题转变为几何问题进行求解，在几何问题处理上对于数学的依赖比较大。探讨通过合理建立正交坐标系的方法减少对数学的依赖，速解有关全反力的动力学极值问题。

关键词：全反力；动力学极值；高考

中图分类号：G633.7 文献标识码：A     文章编号：1003-6148（2023）5-0038-4

高中物理中经常涉及到在粗糙平面上运动的问题，此时物体受到的滑动摩擦力与接触面压力成正比。在理论力学中，法向分力FN与静摩擦力Fs的合力成为支撑面对物体的全约束力，又称之为全反力，符号为FRA。当静摩擦力达到最大时，两合力的夹角达到最大φm，称之为摩擦角。在高中阶段，通常认为滑动摩擦力等于最大静摩擦力，因此在物体滑动时，摩擦角是不变的，也就是法向分力与动摩擦力合力方向不变。

由于全反力的特性，高中阶段经常会遇到相关的静力学平衡和动力学极值的问题。在求解动力学极值问题时，一般采用的方法就是通过牛顿第二定律，假设一定的角度，然后通过三角函数求极值的方法来解决，数学要求相当高。另一种是通过受力分析，构建力学四边形来求解，从解三角函数转到找几何关系来求解，物理思维到位了，最后方程的物理意义缺乏了，解答也比较繁琐。通过对全反力力学四边形的研究，合理建立坐标，既减少了数学运算，又明确了物理意义。

1    摩擦角的基本性质

这个做法相对于解法2来说更具有物理意义，并且需要建立在对全反力认识的基础上，但是感觉似乎没有这个必要，有画蛇添足之嫌，把简单的问题复杂化了。由于这是一个最基本的物理模型，处理的时候反而没有相应的基础解法容易理解。在全反力参与的动态极值问题中，这个方程所带来的好处是巨大的。在这个方程中间，唯一不确定的就是F和F与全反力方向的夹角。可以随便假设一个α，如图6所示，方程就变成了Fcosα-mgsinφm=macosφm。

可进行以下推论：

推论1：当F一定，cosα=1时，a取最大值，此时F沿与全反力垂直方向。

推论2：当cosα≤0时，无论力F多大都不可能推动该物体，临界角度α=90°，此时与全反力平行，与竖直方向正好成φm斜向下，所以φm就是通常讨论的自锁角。

3    实际应用

3.1    水平面上的应用

此解法对数学三角函数要求相当高，最后两个不等式推导出来后的临界条件和计算也需要大量的时间，在高考时需要投入很多的时间。

解法2  由题意可知，安培力是一个定值，题目转化为在一个大小不变的安培力的作用下，水平加速度有两个极值，求安培力的方向的问题。注意题中重力为恒力，支持力和滑动摩擦力合成全反力。问题就归结为限定受力条件下的加速度极值的问题。从前面的基础问题分析可知，合力和分力构成一个封闭的四边形（图10），确定当力F与全反力垂直时获得最大加速度，由此：

本解法利用了原有的基础分析，对于限定条件下的加速度极值条件直接得到了力的方向，接下来直接根据正交分解法求解，方程意义明确，避免了复杂的几何作图，可以说是物理思维与解题技巧的最好结合，可以短时间解决涉及全反力的极值问题。

3.2    斜面上的应用

从三种解法来看，第三种解法通过坐标系的变换，可以很容易地进行极值问题讨论，使用推论仅仅是列方程的时候少了一个假设的角而已，化解了大量的三角函数的计算，也避免了力的合成最后涉及几何图形计算带来的方程意义的问题，更容易让学生接受。从模型解题上来看，也适合各类涉及全反力的极值问题，比较容易迁移。在高考中如果遇到此类问题可以减少数学计算带来的时间浪费，提升解题效率。

参考文献：

［1］哈尔滨工业大学理论力学教研室．理论力学（I）（第 6版）［M］．北京：高等教育出版社，2002：111．

［2］卢伟.利用全反力的定向性巧解中学物理動力学问题［J］．物理教师，2017，38（8）：55-57.

（栏目编辑    陈   洁）