对关联矢量问题的思考

张丽 刘杭州 尚振玉

摘   要：关联矢量问题在高中阶段涉及到了两个问题，一是解决关联速度问题，二是求解匀强电场场强。从揭示关联矢量问题的内因出发，总结关联矢量问题的特点，寻找解决该类型问题的方法，以期快捷地解决关联矢量问题。

关键词：关联矢量问题；合成分解法；解决方法

中图分类号：G633.7 文献标识码：A     文章编号：1003-6148（2023）5-0063-3

一般来说，矢量的分解和合成只要服从矢量运算法则，就可以在任意方向进行分解和合成。但在受约束的问题中，矢量的分解和合成必须在约束的规则下应用，这与学生对矢量的基本认识有所违背，造成了学生的思维障碍。在解决关联矢量问题时必须解释清楚该问题的内因，让学生找到其特点，才能更好地解决该问题。高中阶段关联矢量问题重点针对关联速度和匀强电场的合成分解法求解，下面具体分析。

1    关联速度问题

在绳、杆及接触面约束（牵连）下的运动分解合成问题是运动分解合成问题的难点，教学的困难主要来源于学生对约束条件的认识和建立正确的速度关系。只有从学生的数学知识储备及认知水平出发，合理地解释该问题，才能让学生很好地理解关联速度问题。

1.1    单一轻绳关联速度问题

中学阶段常用三种方法解释关联速度问题，分别为等效运动法、导数法、能量传递法。

例1 如图1所示，纤夫以速度v0在河岸上匀速地绕过定滑轮向岸边拉船，当拉船的绳子与水平面成α角时，船的运动速度v为多大？

（1）等效运动法

运动分解的主要方法是把合运动分解成两个方向的分运动。船的真实运动是合运动，可将其分解为沿绳子方向的匀速直线运动和绕滑轮的匀速圆周运动。

如图2—图4所示，若船从P点运动至Q点，可等效为绳子先以速度v0收缩至P'点，再沿着切线做匀速圆周运动至Q点，显然船的速度可分解为沿着绳子和垂直于绳子的两个分速度，易得到v=■。

（3）能量传递法

从功能关系角度看，关联物体发生运动的过程中，连接物的作用本质是传递能量［2］。即人拉绳的功率与绳拉船的功率相等，则有

上述三种方法分别从等效运动、位移关系、能量关系角度寻找关联速度的速度关系，显然必须把船的速度分解为沿着绳子和垂直于绳子的两个分速度。在高中阶段都是可行的，但在学生初学该内容时还有没有学习具体的功能问题及导数，教学时可采取学习进阶的方式在学习的不同阶段逐步应用，让学生能深入地理解该问题。

在实际教学中，哪怕知道了上述处理方法，学生仍有两个困惑：一是为什么不分解端点绳子的速度，二是为什么非得正交分解。不分解端点绳子的速度是因为分解的必须是合速度，而沿绳子方向的速度不是船运动的合速度。必须正交分解的原因是，如果一个分速度沿着绳子，另一个速度沿任意方向，那么当沿绳子方向的运动结束后，另一方向的运动一定会引起绳子长度的变化，从而使沿绳子方向的运动发生变化，而沿绳子方向的运动一定是匀速的，这相互矛盾了。

1.2    多段轻绳关联速度问题

仅研究在单一轻绳牵连下的关联速度问题不能使学生感受到关联速度问题的特点，通过对多段绳子牵连下的学习才能体会到受约束矢量问题的正确解决方法。

例2 如图6所示，平静的海面上，两艘拖船A，B通过不可伸长的缆绳拖着驳船C运动，某时刻两根缆绳的夹角为θ，两拖船A，B的速度大小均为v0。已知两拖船的运动方向始终沿缆绳方向，则此时驳船C的速度大小为多少？

解决该问题时大多数学生会犯的错误是直接应用平行四边形定则将两个速度合成（图7），这是因为没有把握住关联速度问题的“关联”特征。关联速度问题的主要特征是独立关联，即各自关联各自的，各分速度没有直接关系，且合速度是唯一的，不能分别关联分解后合成（图8）。正确的方法应该是，若知道合速度方向，只需选取任意分速度进行关联正交分解合成；若不知道合速度方向，如图9所示，过两关联速度矢量箭头分别作垂线，两垂线交于一点，合速度为速度交点与垂线交点的连线。可以这样操作的原因是合速度具有唯一性，而合速度与两关联速度又是独立关联的，应用三角形法则独立关联寻找合速度时，图9中的合速度是唯一独立关联后的相同速度。此时形成的四边形对应一个外接圆，根据正弦定理和余弦定理可得

2    分解合成法求匀强电场场强问题

3    总  结

关联矢量问题的特征和方法实际上是统一的，分解时只能正交分解，合成时只有两分量垂直时才能直接合成，但这只是一种巧合，因为只有两分量垂直時彼此是独立关联分解的另一个量。若两分量不垂直则不能直接合成，可以作垂线，应用四边形的外接圆的特征，根据正弦定理和余弦定理求解。误解是学习的常态，只有深入思考才能达到理解的状态，通过引导学生对关联矢量问题进行深度分析才能有效提高学生对物理知识的认知程度，培养学生的核心素养。

参考文献：

［1］范财政.浅析教学中的关联速度问题［J］.物理通报，2021（2）：122-123，135.

［2］杨欣.从连接物的运动特征与作用本质分析关联速度［J］.物理通报，2022（S2）：76-77.

［3］段石峰.对“合成法”求解匀强电场中电场强度的修正［J］.物理教学，2022，44（6）：48-50.

（栏目编辑    蒋小平）