文/陈冠军
在2022 年中考中,江苏省多个市以操作活动为问题背景来考查圆的相关知识,呈现形式较为新颖。限于文章篇幅,本文仅对宿迁市的一道题做研究。
例题
如图1,在网格中,每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点,点A、B、C、D、M均为格点。
图1
【操作探究】在数学活动课上,佳佳同学在如图1 的网格中,用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段AB、CD,相交于点P并给出部分说理过程,请你补充完整:
解:在网格中取格点E,构建两个直角三角形,分别是△ABC和△CDE。
在Rt△ABC中,tan∠BAC=
在Rt△CDE中,_______,
所以tan∠BAC=tan∠DCE。
所以∠BAC=∠DCE。
因为∠ACP+∠DCE=∠ACB=90°,
所以∠ACP+∠BAC=90°。
所以∠APC=90°,即AB⊥CD。
【拓展应用】(1)如图2 是以格点O为圆心,AB为直径的圆,请你只用无刻度的直尺,在上找出一点P,使写出作法,并给出证明;
图2
(2)如图3 是以格点O为圆心的圆,请你只用无刻度的直尺,在弦AB上找出一点P,使AM2=AP·AB,写出作法,不用证明。
图3
解析
【操作探究】tan∠DCE=
【拓展应用】(1)作法:取格点C,连接AC并延长,交⊙O于点P,则点P即为所求,见图4。
图4
证明:由作图可知OM⊥AP,且OM过圆心,根据垂径定理,得
(2)作法一:连接OA,取格点C,连接MC并延长,交⊙O于点M',交AB于点P,则点P即为所求,见图5。
图5
证明:可证OA⊥MM',
∴
∴∠AMP=∠ABM。
又∠MAP=∠BAM,
∴△APM∽△AMB。
∴AM2=AP·AB。
作法二:取格点C、D,连接CD交AB于P,则点P即为所求,见图6。
图6
总结
本题用到的知识较为广泛,有全等三角形、垂径定理、圆周角定理、相似三角形的判定和性质等,是一道以操作活动为背景的综合题。
除这道题外,各地2022 年中考题中,还有常州市第28 题、扬州市第26 题、盐城市第27 题,它们都是操作活动背景下的圆的综合题,大家不妨去做一做。