折叠求值 三面突破

文／陈 超

在四边形折叠中求有关线段的长度或比值问题是中考常考内容之一。虽然此类问题会出现多种情境求值情况，但是解决这类问题还是有法可寻的。除了利用四边形本身的性质以外，重点应从三方面进行思维突破：全等、勾股和相似。

一、折叠中求长度值的问题

例1如图1，将矩形纸片ABCD沿CE折叠，使点B落在边AD上的点F处。若点E在边AB上，AB=3，BC=5，则AE=________。

图1

【解析】由矩形的性质可得，∠A=∠B=∠D=90°，CD=AB=3，AD=BC=5。

设AE=x。由折叠可知，△EFC≌△EBC，

则EF=EB=3-x，FC=BC=5，

∠EFC=∠EBC=90°。

在Rt△CDF中，∠D=90°，

AF=AD-DF=5-4=1。

在Rt△AEF中，∠A=90°，

则AE2+AF2=EF2，

即x2+12=（3-x）2，解得x=

所以AE=

【点评】本题利用了矩形的性质，从折叠得到全等，再利用勾股定理求解，这也是常规的解题思路。除此之外，我们还可以利用相似求解。从图中易得相似的基本图形“K”型图，即Rt△AEF∽Rt△DFC，则，据此亦可求出AE。

二、折叠中求距离值的问题

例2如图2，在矩形ABCD中，AD=12，AB=8，E是AB上一点，且EB=3，F是BC上一动点。若将△EBF沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距离为________。

图2

【解析】由折叠可知，△EBF≌△EPF。虽然点F在BC上运动时，点P也随之运动，但始终有EP=EB=3，所以点P在以E为圆心、EB为半径的圆上，如图3所示。

图3

易知当点E、P、D共线时，PD的值最小。在Rt△AED中，∠A=90°，

AD=12，AE=AB-EB=8-3=5，

所以ED=

则PD=ED-EP=13-3=10，

即点P到点D的最短距离为10。

【点评】本题是折叠中的“单动点”求距离最值问题，其本质是利用转化思想求线段长度值的问题。依据“动”中求“静”的思想，由折叠可知全等，动点、定长可判断运动轨迹，从而根据取最值时的动点位置，运用勾股定理求解。可见全等、勾股是本题重要的知识点，也是解题的重要思维突破口。

三、折叠中求比值的问题

例3如图4，在矩形ABCD中，动点M从点A出发，沿边AD向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边BC向点C匀速运动，连接MN。动点M、N同时出发，点M运动的速度为v1，点N运动的速度为v2，且v1＜v2。当点N到达点C时，M、N两点同时停止运动。在运动过程中，将四边形MABN沿MN翻折，得到四边形MA＇B＇N。设A＇B＇与AD交于点E，若在某一时刻，点B的对应点B＇恰好与CD的中点重合，则的值为________。

图4

【点评】本题是折叠中的“双动点”求比值问题。题目中没有给出线段的具体长度，故可以采用设参数的方法，将线段数值化。解决本题的关键是能从几何直观中发现由折叠得到一个直角三角形（Rt△B＇CN）、两个四边形全等、两个三角形相似和两个三角形全等，再利用勾股定理、线段相等、线段成比例等获得所要求的线段的数值，最终将速度比转化成线段比。