初中数学解题中的函数思想应用策略

曹峰

【摘要】本文主要对初中数学函数解题中的函数思想应用策略进行研究，包括函数思想在其中的应用意义和应用策略.希望通过本次的研究，可以为初中数学函数解题教学质量的提升提供一定参考.

【关键词】初中数学；函数；解题教学

在初中数学函数解题中，通过函数思想的合理应用，不仅可以帮助初中生建立起更加清晰的解题思路，同时也可以使其解题步骤得到进一步的简化，这对于初中数学函数解题效率、准确度的提升都十分有利[1].另外，通过函数思想的深入理解和应用，也可以帮助初中生在数学函数解题中形成良好的数学素养，从而为其后续的数学学习与发展奠定坚实基础.

1函数思想的应用

对于一次函数、二次函数等的这些图象问题，更应该将其对称性、位置、形状以及和坐标轴之间的交点等主要特征作为依据，对特殊的自变量或函数值加以应用，以此来实现初中数学函数习题的快速、准确求解.

例1针对这样一道习题：已知一个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c，其中的a不为零，图1为该二次函数的图象.

针对该二次函数，有以下的几条结论：①abc＞0；②a-b+c＞0；③如果ax21+bx1=ax22+bx2，x1和x2不等，则x1与x2的和为2；④如果m不等于1，则有a+b＞am2+bm；⑤2a+b=0.其中哪些结论正确？

（A）①④⑤.（B）②⑤.

（C）③⑤.（D）③④⑤.

解在该二次函数图象中，

因为抛物线开口朝下，且与y轴正半轴相交，

所以a＜0，c＞0.

因为其对称轴为x=-b2a=1，

所以b=-2a＞0，

所以abc＜0.

结论①错误，结论⑤正确.

因为y（1）=a+b+c，y（m）=am2+bm+c，

x=1时，y最大，且m≠1，

所以y（1）＞y（m），

a+b+c＞am2+bm+c，

a+b＞am2+bm，结论④正确.

设x=-1，则y（-1）=a-b+c，

根据二次函数图象的对称性，y（-1）在第三象限，

所以a-b+c＜0，结论②错误.

设直线l与x轴平行，与y=ax2+bx+c有两个交点分别是x1、x2，

因为y（x1）=y（x2），且对称轴为x=1，

所以x1+x2=2，结论③正确.

由此可得出，（D）选项正确.

2数形结合思想的应用

在初中数学函数解题中，数形结合思想也是一种非常重要的解题思想.基于此，在函数习题解题教学中，教师应引导学生通过数形结合思想来进行解题.通过数与形之间的结合，便可帮助学生快速准确地理清解题思路[2].

例2如图2所示，A和B是反比例函数y=kx与直线y=-x的交点，P是一个圆上的动点，其所在圆的圆心为C（2，2），半径是1.将AP连接，其中点是Q.如果OQ的值最大为2，试求出k的值.

对于这道习题，教师便可引导学生通过数形思想来进行解题.

解根据反比例函数特征，

因为该反比例函數的对称轴是y=x，

所以OA=OB，

因为Q是AP中点，

所以OQ=12PB，

通过图象可知，在P、C和B共线时，线段PB的长度最大.

因为OQ值最大为2，

所以PB=4，

因为圆C的半径是R=1，

所以CB=3，

设B的坐标为（x，-x），则有

CB=（2－x）2+（2+x）2=3，

所以x=22或x=－22（舍去），

将22，-22入到y=kx中，

解得k=－12.

3方程思想的应用

在初中二次函数解题教学中，方程思想也是一种重要的解题思想.基于此，教师可引导学生将相应的二次函数习题转变为方程解题，以此来实现二次 函数习题的快速求解.

例3已知y=x2+bx+3这个二次函数图象的对称轴是x=1，在-1＜x＜4的情况下，x2+bx+3-t=0这一方程有实数根，且t为实数，试判断t的取值范围.

针对该习题，解题中，教师便可引导学生通过方程思想进行求解.

解因为y=x2+bx+3的对称轴是x=1，

所以x=-b2a=1，

所以b=-2，

因为x2-2x+3-t=0在-1＜x＜4范围内有实数根，

所以当-1＜x＜4时，y=x2-2x+3和y=t的图象有交点.

根据二次函数性质，当x=1时，该二次函数有最小值，即y=2；

当x=4时，该二次函数有最大值，即y=11.

所以2≤t＜11.

4结语

总之，函数思想的合理应用对于初中数学函数解题具有很大帮助.因此，具体教学中，教师应根据实际情况，引导学生通过合理的数学思维进行解题.这样才可以获得更好的教学效果，促进初中生数学学科的良好学习与发展.

参考文献：

[1]马玲.初中二次函数教学中重要函数思想的渗透策略研究[A].现代化教育国际研究学会论文集（二）.2022：3.

[2]张园园，姜金平.初中函数教学中函数思想的渗透[J].成才，2022（13）：47-48.