概率的智慧

周立晨

小超和小晨参加了一个游戏。在游戏开始后的一个小时内，两人必须在安全屋汇合，这样他们才能拿到“卧底”的身份牌线索，通过游戏。他们两人都只能在安全屋内停留15分钟，也就是说，如果他们在15分钟内没有遇到对方，就算接头失败，线索就会失效。那么，两人最终接头成功的概率有多大？

接头成功的概率

假设小超到达安全屋的时间是第x（0≤x≤60）分钟，小晨到达安全屋的时间是第y（0≤y≤60）分钟。

我们先考虑最简单的情形：小超、小晨都不能在安全屋内停留，即两人同时到达安全屋。

如图1，两人的每一次相遇都可以用坐标轴里的一个点来表示。接头成功的条件是：如果小超第5分钟到达安全屋，则小晨也要在第5分钟到达安全屋；如果小超第12分钟到达安全屋，则小晨也要在第12分钟到达安全屋……这些点最终可以连成一条线段。

从图1可以看出，这种情况下两人接头成功的概率非常小，小到可以忽略不计。

接下来，我们再考虑比较复杂的情形：小超可以在安全屋内停留15分钟，而小晨不能在安全屋内停留。

如图2，如果小超第0分钟到达安全屋，则小晨第0分钟至第15分钟到达均能接头成功，此时的图像不再是一个点，而是一条竖直的线段；如果小超第5分钟到达安全屋，则小晨第5分钟至第20分钟到达均可；如果小超第15分钟到达，则小晨第15分钟至第30分钟到达均可；如果小超第45分钟到达，则小晨第45分钟至第60分钟到达均可……这些线段无间隔地排列，得到图3中的阴影部分，而阴影部分与正方形的面积之比即为接头成功的概率。

概率与面积的转换

如果小晨在安全屋内停留15分钟，而小超不能在安全屋内停留。那么这种情况跟第二种情况的分析过程完全相同，两人接头成功的条件如图4所示。

现在，我们来分析一开始提出的问题，即两人都可在安全屋内停留15分钟。

如果小超先到，小晨后到，接头成功的条件如图3；如果小晨先到，小超后到，接头成功的条件如图4。将图3和图4拼在一起，得到图5。

图5中，A点表示小超、小晨分别在第15分钟和第45分钟到达的情形，他们没有相遇；而B点表示小超、小晨分别在第15分钟和第20分钟到达的情形，他们能相遇。在正方形内的所有点中，只有阴影区域内的点满足横坐标与纵坐标之差小于或等于15，这些点对应着两人能够相遇的所有情况。所以，接头成功的概率就是阴影部分与正方形的面积之比。

阴影部分面积＝60×60－45×45÷2×2＝1575，

正方形面积＝60×60＝3600，

接头成功的概率 ＝1575/3600=7/16。

小超和小晨两人相遇的概率有多大，这个数学分析你看懂了吗？如果你有更多关于概率的想法，可以扫描二维码，关注微信公众号，和我們一起分享哟！