数学家张景中：用“教育数学”为“数学教育”做减法

范琪

张景中，中国科学院院士，著名计算机科学家、数学家和数学教育家，中国科普作家协会第四届理事长，中国高等教育学会教育数学专业委员会第一届理事长，广州大学计算机科学与网络工程学院教授、名誉院长，计算科技研究院名誉院长，广东省数学教育软件工程技术研究中心主任。

“数学课上，上一秒我在捡笔，下一秒我就听不懂讲到了哪里。”这句自嘲真实反映了当下不少孩子学习数学的困境。据教育部基础教育质量监测中心发布的《2018年国家义务教育质量监测——数学学习质量监测结果报告》显示，参与本次监测的四年级学生数学学习自信心低和较低的占比为27.1%，数学学习焦虑程度高和较高的占比为24.8%；八年级学生的该两项占比分别为41.2% 和40.9%。

学生因学习数学而生发负面情绪并非近年来流行的新问题。1974年，身为中学数学教师的张景中在课堂上就发现了这一点，从那时起，他便开始探索如何让数学变得更容易，帮助更多学生树立起学好数学的信心。带着这份思考，张景中坚持教书育人，提出“教育数学”的思想理念，努力为每个难点寻找简单路径；他致力数学科研，深耕机器证明、距离几何及动力系统等领域，使几何定理可读证明自动生成的难题取得突破；他从事科普创作，用作品阐释数学主张，履行自己眼中“科学家的责任”；他研究教育信息技术，与团队共同打造出互联网动态数学工具——网络画板，用信息技术赋能数学课堂……在与数学相伴的漫漫长路上，张景中逐渐成长为一名数学家和数学教育家，一步步将教育理念转化为教学实践。

为了教育改造数学

《教育家》：您曾在《从数学教育到教育数学》一书中首次提出“教育数学”的概念，请结合自身经历谈一谈当时提出这一理念的缘由和初衷。

张景中：1974年，我在新疆二十一团子女中学做数学教师，看到很多学生为学数学头疼，尤其是学到几何部分时，有不少学生向我反映做不出题目。作为教师，我为他们想了一些更简单的解法，发现很有效，还有好几位初中生当时就学会了高中的数学知识。1978年，我被调到中国科学技术大学教少年班和数学系，又看到很多学生为高等数学发愁，于是我开始针对他们认为难度较大的几个问题，研究使其“变简单”的方法。直到1989年，我接到出版社写书的邀请，才把这一理念正式提炼命名为“教育数学”。简单来说，“教育数学”就是为了教育改造数学，它的形成和国外许多数学理念的提出有所不同，国外的数学家往往喜欢先提出一种数学教育主张，然后让教师按照这个主张开展实践，比如西方建构主义有学者曾主张学习乘法口诀表重点要依靠理解，当时便有教师不建议学生在小学阶段背诵这部分内容。

从分类上看，“教育数学”的理念生长在教育学与数学之间的以数学为主体的交叉范畴，更多是对数学的创新，而非纯粹教学方法的改变。面对当前数学教育中存在的一些问题，我们不能把责任都推给教育，从学科本身出发，解决学科内知识的疑难杂症，往往会达到更好的教育教学效果。

《教育家》：在实践“教育数学”这一理念的过程中，您遇到过哪些困难？又是如何解决的？

张景中：最大的困难是很多人不愿意尝试新理念，用“教育数学”做实验。新理念要想落地，首先需要经过实验的验证和认可，之后才能得到推广的机会。对于大多数教育工作者而言，“教育数学”的理念和传统的数学教学方法相差太大，虽有成功的可能，但和已经过多重检验的现有数学教育体系相比，风险指数的确很高。而且做实验不是一节课的事情，需要几年的浇灌才能看到結果，一旦实验未能达到预想的效果，不单已有的投入付诸东流，这批实验生的数学成绩也要有人负责。

我能理解他们的心态，不过我还是坚持推动“教育数学”落地。我写了很多科普文章，宣传让数学变得容易学的新方法，之后部分奥数参考书开始选用这些内容。为了更好地贴合学生的学习实际，我尝试用这些新方法做了大量中小学数学习题，并在这个过程中提炼出了几何证明的算法。渐渐地，华东师范大学的张奠宙先生开始注意到我的理念，他很欣赏“教育数学”的理念，在他的倡导下，宁波崔雪芳老师开始用“教育数学”做实验。他们面向初一学生用我的方法讲了一节课引入正弦，发现学生都能够理解，还生发出了想要继续深入学习的兴趣。当时距离这一理念的提出已过去了将近20年的时间。后来，我又得到广州市科学技术协会的支持，在“千师万苗工程”的助力下获得了更多实践机会。广州市海珠区实验中学将两个班作为实验班，其他四个班作为对照班，还和实验班的学生家长签订了协约，如果实验班的学生因数学成绩不理想而没考上高中，本校会予以接收，以此减轻家长的精神负担。实验班的数学教师参考我的科普书改编教材，创新了九十多节数学课，三年后，实验班105名学生的数学中考成绩全部优秀（120分以上），对照班级的优秀率约为60%。实验班学生也表示学得很轻松，感觉学习数学的负担一下子减轻了。这次实验成功后，贵州、成都等地也开始做类似的教学实验，到目前为止结果都很理想。2004年，在老师们的关心和推动下成立了中国高等教育学会教育数学专业委员会，每年组织年会， 开展交流。国家级教学名师李尚志教授主编的推广教育数学成果的初中教材《新思路数学》出版了，目前已有十几个省的一百多所学校加入实验队伍，并有了初步成效。

换一种思路，数学也能变容易

《教育家》：要让学生更加轻松且高效地学习数学，离不开您对数学理论的深入思考和科研成果的支撑，您是如何将这些内容渗透到不同学段的数学教学当中，让数学变容易的？您怎样看待数学教育与科研之间的关系？

张景中：基础教育阶段，学生学习数学的难点主要集中在几何、向量、微积分等内容，不论是哪个学段的数学知识，我都相信一个原则：熟悉了就容易，简单了就容易，理解了就容易，直观了就容易。

在新疆教书时，有一道几何题难倒了我们教研室的所有教师，最开始我也做不出来，后来才找到解法。解法的关键就是用了下面的共边定理：

假设AB、PQ两条直线相交于点M，则PM/QM=S      /        S          。（用相似形容易看出上述比值等于两个三角形高之比）

后来发现，想象让线段AB沿所在直线滑动，当点A或B滑到M处时，立得所求，这样小学生更容易理解。过去教材上没有共边定理的内容，它可以大大简化射影几何中许多定理的证明，如梅涅劳斯定理和塞瓦定理，我分别只用了一行字代替了国外科普书中给出的半页解法。

再例如，荷兰数学家弗兰登塔尔曾提出：能否实现提前两年让学生学三角函数？这个想法在国外没有实现。结合学生在理解定义环节反映的难点，我为正弦函数找到了一种更为直观的几何模型，以求使其与小学数学知识相联系，降低对学生已有知识的储备要求——

S  =长×宽，在小学课本中可用单位面积为1的正方形表示，即假设矩形长为3，宽为2，矩形便可用两行三列的单位正方形罗列表示。假设矩形的边框可以活动，使矩形倾斜变为平行四边形，单位正方形即变为边长为1的菱形，S  =3×2×S  。假设菱形有一角为α，为了简便，我们用sinα来表示这个边长为1的菱形的面积，那么S  =3×2×sinα，连接对角线取一半，即可获知三角形的面积公式，计算三个角并列出等式，轻松得出正弦定理。

像这样的案例还有很多，研究起来难度不同，有的研究只花了我一夜的工夫，而有的我前前后后18年的时间才想明白。我觉得数学课堂中的许多问题，实际上都能转化为科研课题，如果能在数学科研上做出探索和突破，那么前者的复杂问题也就有了迎刃而解的可能。

《教育家》：多年来，您一直致力于科普创作，还提出“科普是科学家的责任”，您如何理解科学精神？它在数学学科上体现在哪里？日常的数学学习和科普阅读对培育孩子的科学精神有何助力？

张景中：科学普及和科技创新同等重要。我认为科学精神可以概括为：求真、务实、探索、创新。日常的数学学习和科普阅读可以为孩子提供生动的情景和榜样，启发他们的学习兴趣，引发他们在生活中多动手动脑，比如《十万个为什么》中的很多情景都来自日常生活，我们为何就不能从中发现问题然后探索出答案呢？

不同学科的学习对培育科学精神都有一定推动作用。我想，数学不仅是科学的工具，还是一种科学思维和文化。我希望学生能以求真务实的态度，用准确的数学语言表达所思考的内容，并在其中探索、发现新的东西，它的内涵也与我们的核心价值观一致，其中更突出自由与平等，不论研究者是何种身份，只要提出创新的、正确的数学研究成果就会被认可；一旦严密的逻辑论证出现问题，不论是大数学家还是小学生也都应当承认是自己不对了。

此外，学习数学、阅读科普读物还可以帮助学生开阔眼界，认识到数学知识的广泛应用，了解提出和解决数学问题的曲折有趣的历史。比如当初看不到抽象代数这门数学课程有什么用处，所以称之为“抽象”代数。后来发现因式分解几乎用到了它的所有理论，它的理论还可用来研究构造和破译密码，有着很高的实用价值。

网络画板，让数学教学更高效

《教育家》：“2022全球智慧教育大会”上，您提出要打造学科专用的教育信息技术，与普适的教育信息技术相比，它有什么不同？网络画板可以为教师和学生分别提供哪些支持？

张景中：普适的教育信息技术可以为各个学科服务，比如统计成绩、电子阅卷等系统。每一门学科都各有特色，教师授课、学生听讲的需求也有所不同。例如，英语学科需要听、说、读、写等方面的支持，物理、化学需要搭建必要的实验操作环境。数学教师课上需要写公式、作图、测量图形参数、做演示……这些内容可以总结为8个字——“写、画、测、算、编、演、推、变”，用网络画板都可以轻松实现。假如没有教育信息技术的助力，教师要画出准确的图需要花费很长时间。我们研发网络画板，正是为了解决这些问题，用数学学科专属的教育信息技术，帮助教师更加高效地备课、授课，并将更为直观的内容呈现给学生，调动他们的学习兴趣，让数学学起来更容易。

《教育家》：教育的数字化转型不单需要技术的引入，更重要的是，应用技术的人的改变，您将网络画板比作“人人都能用的数学实验室”。在您看来，一线教师需要做出哪些转变，才能在应用教育信息化成果的过程中实现从“能用”到“用好”的飞跃，探索出教师自身应用教育信息化技术的特色？

张景中：首先，教师要愿意借用教育信息化成果，乐于实践。有时，“用不好”可能只是因为教师不熟悉。以网络画板为例，网上提供了大量拿来就能用的教学资源，可以直接插入课件用于教学，可见，实际上部分教育信息化成果的应用门槛并不高，即使是信息技术水平一般的教师用起来也不会有障碍。教师踏出应用教育信息化成果的第一步，很快就可以熟练起来，继而渐渐形成自己的习惯和特色。

其次，在讨论中提高。在功能允许的前提下，教师可以在网上发表作品或方案，寻求其他教师和学生的建议。这个函数想用什么样的动画、这个几何图形应该如何设计、现有的方案可以怎样修改……这些问题都可以讨论。听到多种声音，才能让教师发现现有方案的更多亮点和不足。

尖子班要抓，普通班也要抓

《教育家》：党的二十大报告提出要加强基础学科建设，着力造就拔尖创新人才，从基础教育到高等教育，您对基础学科拔尖创新人才的贯通式培养有哪些建议？

张景中：清华大学的丘成桐教授曾经开设研究生班，后来又办了本科生班，再后来又办了高中生班，最近他还提出初中是培养学生数学兴趣的好时机，我们在基础教育阶段就要为他们夯实基础。在贯通式培养的过程中，我提出两点建议——

一是基础教育阶段要抓尖子班也要抓普通班。我认为办数学尖子班是好事，可以为这些有数学专长的学生提供更适配的数学教育，但我们也需要关注普通班的学生。首先，学生在整个青少年时期对数学的兴趣与天赋会发生变化，每颗种子萌发的时机不同，有些学生在小学就能凸显出来，有些学生可能就需要等到高中；其次，许多地方由于资源有限，无法组建尖子班，这一点在我们各地的实验班中尤其明显。这些原因都让各个学段里的普通班藏龙卧虎，如果教师能在平常的数学课堂上启发他们，重视对这些学生的培养，那么未来国家数学拔尖人才的数量或许就能迎来大幅提高。

二是不必让高等教育阶段的学生过早地追求成果，譬如我们鼓励学生有了研究成果之后发表论文，但不要把发表论文当成学生毕业的必要条件。硕士阶段的部分学生对于数学前沿的了解程度尚浅，发表的文章大多还火候不足。现在，中国在国际期刊上刊发的数学文章多了，但总体水平还不高。研究生要搞数学研究，就要沉下心来思考和学习，很多出色的科学家都是在拿到博士学位后才针对某个问题做出了突出的成果。

《教育家》：对于数学人才的培育和数学教育的未来发展，您有何期待？

张景中：数学人才的培养不是一蹴而就的，想要实现顶尖数学人才的充足，首先要实现中等层面数学人才的充足，前者更多是研究数学专业理论的学者，后者可以包含各行各业的普通人，像工程师、设计师、程序员、会计师……支持他们工作、进步的相当一部分基础正是扎实的数学知识。国家人才的需求多种多样，中等层面数学人才的培养也應该百花齐放，数学教师也属于这一范畴，但现在很多地方依然缺少数学教师，优秀的数学教师更是稀缺的人力资源。

未来，我希望数学教育能适当地打破限制。现在仍有部分数学教师的教学模式过于死板，他们规定学生要学什么、怎样学，甚至要求学生只能用哪一种方法来解题。如果大家都按照一种方式来学基础数学，他们的思维方式也容易趋向一致，不利于创新思维的形成。因此，我希望宏观层面上，新课程标准能在一定程度上增添一些拓展性内容，更加灵活地处理“封顶”的问题；微观层面上，期望更多一线教师能使用丰富多彩的教学方法，为学生创造出学习数学的自由空间。