基于“三角形角平分线”的焦点弦命题串的几何探究

广东省佛山市高明区第一中学(528500) 王顺耿

在圆锥曲线中,焦点弦问题性质多且推演繁,探本溯源发现有一类问题诞于“三角形角平分线”,可以抛开解析几何繁杂的代数演算,用几何方法逐步探研.

1 源起

为探研圆锥曲线焦点弦性质,先复述一下三角形角平分线定理:如图1,在∆ABC中,若则AD(或AD′)为∠BAC内(或外)角的平分线.

图1

命题0F为圆锥曲线一焦点,圆锥曲线非焦点弦AB所在直线交对应的准线于点C,则FC平分FA与FB夹角的外(或内)角.

证明在抛物线(图2)中,过A、B作准线的垂线,垂足为M、N,由抛物线定义得FA=AM、FB=BN,则有据三角形角平分线定理得FC平分FA与FB夹角的外角.

图2

同理,在椭圆(图3)、双曲线(图4、5)中,由椭圆及双曲线定义得FA=e · AM、FB=e · BN,则有所以FC平分FA与FB夹角的外角,图5 中FC平分FA与FB夹角的内角.

图3

图4

图5

2 探究

性质1AB是圆锥曲线的一条焦点弦,P是圆锥曲线上异于A、B的一点,若PA、PB分别交对应的准线于M、N,则∠MFN是直角.

证明在抛物线(图6)、椭圆(图7)、双曲线(图8)中,连结FP,由命题0 知FM平分∠PFB、FN平分∠PFA,又∠PFA+∠PFB=π,所以双曲线的其它情形,同理可证.

图6

图7

图8

性质2AB是圆锥曲线的一条焦点弦,P是圆锥曲线上异于A、B的一点,PA、PB分别交对应准线于M、N,又PF交圆锥曲线于另一点S,则M、B、S三点共线,N、A、S三点也共线.

证明在抛物线(图9)、椭圆(图10)、双曲线(图11)中,连结FN、FM,对顶角∠AFP=∠BFS,由命题0 知FM是∠AFP外角的平分线,也是∠BFS外角的平分线,所以也由命题0 知直线SB必经过点M,即M、B、S三点共线;同理可证FN是对顶角∠BFP,∠AFS外角的平分线,则直线SA必经过点N,N、A、S三点也共线.双曲线的其它情形,同理可证.

图9

图10

图11

综合性质1 和性质2,可得如下等价性质.

等价性质AB、PS是圆锥曲线的两条焦点弦,若AS、BP相交,其交点N必在对应准线上,则AP、BS也相交,其交点M也必在对应准线上,反之亦然,且∠MFN是直角.

3 推广

下面将命题0 进行推广.

命题1F为圆锥曲线一焦点,若圆锥曲线在A点处的切线交对应的准线于点C,则∠AFC是直角.

证明以抛物线(图12)为例,其它圆锥曲线证法相同.在图2 中,FC平分FA与FB夹角的外角,当点B向点A运动至重合时,割线CBA变成了切线CA,FA与FB夹角的外角变成平角,所以.

图12

性质3AB是圆锥曲线的一条焦点弦,若圆锥曲线在两端点A、B处的切线相交,则交点C落在对应的准线上,且FC⊥AB.

证明以抛物线(图13)为例,其它圆锥曲线证法相同.由命题1 知,,即FC⊥AB;同理,过点B作切线BC′交准线于C′,也有FC′⊥AB,则C′与C重合,命题得证.

图13

性质4AB、PS是圆锥曲线两条相互垂直的焦点弦,若过端点A、B的切线相交,其交点M必在对应准线上,若过端点P、S的切线相交,其交点N也必在对应准线上,且∠MFN是直角.

证明为方便作图,以椭圆(图14)为例,其它圆锥曲线证法相同.由性质3 知,过点A、B的切线相交,其交点M必在准线上,且FM⊥AB;同理,过点P、S的切线相交,其交点N也在准线上,FN⊥PS,故∠MFN为直角.

图14

命题2圆锥曲线的焦点为F,若(对应一支上的)两条弦PA、PB延长后,分别交对应准线于M、N,则当A、F、B共线时,.

证明以双曲线(图15)为例,其他圆锥曲线证法相同.设∠AFP=α,∠BFP=β,由命题0 知.又,∠AFB=2π−(α+β),所以成立.弦PA、PB其它位置情形,同理可证.

图15

特别地,当A、F、B共线时,AB为焦点弦,∠AFB=π,则与性质1 一致.

4 应用

利用上面所得结论,可以方便解决一些问题.

例1AB是椭圆(或双曲线)的焦点弦,PS是椭圆(或双曲线)的长轴(或实轴),则AS、BP相交,其交点M必在对应准线上,AP、BS相交,其交点N也必在对应准线上,且∠MFN是直角.

证明在图16、17 中,PS是椭圆(或双曲线)的长轴(或实轴),也是椭圆(或双曲线)一条特殊的焦点弦,根据“等价性质”易知此命题正确.

图16

图17

例2P为椭圆(或双曲线)上异于长轴(或实轴)端点A、B的任意一点,F1、F2为左右焦点,直线PA、PB分别交左准线于M、N,交右准线于G、H,则.

证明在图18、19 中,将长轴(或实轴)AB看作为经过焦点的弦,直线PA、PB分别交左准线于M、N,交右准线于G、H,由性质1 得.

图18

图19

例3P为椭圆(或双曲线)上异于长轴(或实轴)端点的任意一点,F1、F2为左右焦点,直线PF1交椭圆于A、交右准线于G,直线PF2交椭圆于B、交左准线于N,又直线AB交左、右准线于M、H,则.

证明在图20、21 中,PA为焦点弦,B为异于P、A的另一点,BP、BA交左准线于N、M,由性质1 得同理可知.

图21

例4已知椭圆的左右焦点分别为F1,F2,过椭圆的左焦点F1的定直线交椭圆于A、B两点,Q是椭圆上异于A、B的任意一点,AQ、BQ与椭圆的右准线交于M′、N′两点,则∠M′F2N′为定值.

证明在图22 中,由命题2 得.因为直线AB是确定的,并且椭圆也是确定的,则焦点F2也是确定的,故∆ABF2也是确定的,∠AF2B是定值,所以∠M′F2N′为定值.同理,双曲线也有同样性质.

图22

例5AB是抛物线的焦点弦,A′、B′分别为点A、B关于对称轴的对称点,M是准线与对称轴的交点,则M、A′、B三点和M、A、B′三点都共线.

证明在图23 中,A′、A关于x轴对称,则直线A′A与抛物线准线平行,可以看作与准线相交于无穷远处的N点,FN垂直x轴,若由点A′向A、B所作的两直线与准线的交点为N、M,由性质1 得∠MFN是直角,则M、A′、B三点共线,同样可证M、A、B′三点也共线.同理,椭圆和双曲线也有相同的性质.

图23

本文用简洁、直观的几何方法探研圆锥曲线中源于三角形角平分线的焦点弦的性质,避免了冗长繁琐的代数运算,旨在抛砖引玉,希望有更多的性质可通过几何方法探究、简捷解决.