全等三角形的“一”与“多”

2023-05-05 11:25李静
初中生世界 2023年15期
关键词:平分线过点一题

文/李静

中考复习中,经常会出现一题多解、一题多变、多题归一的情况。下面以全等三角形为例,提炼数学思想方法,希望能帮助同学们真正做到融会贯通。

类型一:一题多解

如图1,P是∠CAB的平分线上的一点,分别在射线AB、AC上确定点D、E,使△APD≌△APE,你有什么办法?并说明你的依据。

图1

【分析】∠1=∠2,AP=AP是已知的,要确定点D、E,使△APD≌△APE。判定三角形全等的方法有ASA、SAS、AAS,还有SSS。从已知看,我们已经有了一个角和一个边,那么前三个判定定理会更适合。

方法1:以点A为圆心,适当的长为半径作圆弧,与AB、AC分别交于点D、E,利用“SAS”来证明△APD≌△APE。

方法2:过点P作DE⊥AP,DE交AB于点D,交AC于点E,利用“ASA”来证明△APD≌△APE。

方法3:过点P分别作PD⊥AB于点D,PE⊥AC于点E,利用“AAS”来证明△APD≌△APE。

方法4:过点P作PD∥AC交AB于点D,PE∥AB交AC于点E,利用“ASA”来证明△APD≌△APE。

【总结】在寻找点的过程中,一定要利用好已知的条件,明确解题目标,有的放矢地去寻找点D和点E。

类型二:一题多变

以类型一中的方法3 画对应的图形为例,连接DE,请猜想关于线段DE和线段AP之间存在什么样的位置关系?

图2

【分析】猜想“AP垂直平分线段ED”。证明方法不唯一,可以先通过三角形全等证明AE=AD,PE=PD,再用垂直平分线的定义来证明,也可以先通过证明△AEF≌△ADF或△PEF≌△PDF,再用垂直平分线的定义来证明。

【总结】由此我们可得到这样一个结论:已知P是∠CAB的平分线上一点,若PD⊥AB于点D,PE⊥AC于点E,连接ED交AP于点F,则AP垂直平分ED。如果这道题的条件做一些变化,该怎么处理?

变式已知:如图3,P是∠CAB的平分线上一点,∠3+∠4=180°。求证:PD=PE。

图3

图4

方法1:在AB上取一点F,使AE=AF,如图4,再通过∠1=∠2,AP=AP,根据“SAS”,得△AEP≌△AFP,从而∠3=∠AFP,EP=FP。又因为∠3+∠4=180°,∠AFP+∠PFD=180°,故∠PFD=∠4,从而PF=PD,所以PE=PD。

方法2:在AC上取一点F,使得AF=AD,如图5,再通过∠1=∠2,AP=AP,根据“SAS”,得△ADP≌△AFP,从而∠4=∠PFA,FP=DP。因为∠3+∠4=180°,∠3+∠PEF=180°,故∠PEF=∠4,从而∠PEF=∠PFE,进一步得到EP=FP,所以PE=PD。

图5

方法3:通过证明两个三角形全等这一途径来达到证明两条线段相等的目的。在AB上取一点F,使AP=FP,如图6,则∠PFA=∠2=∠1。因为∠3+∠4=180°,∠4+∠PDF=180°,所以∠3=∠PDF,根据“AAS”,可得△AEP≌△FDP,从而PD=PE。

图6

【总结】变式的解法不止这3 种。因此,在一题多解的基础上,通过题目的变化,我们可以对三角形全等的判定进行更加深入的思考。

类型三:多题归一

已知:如图7 所示,在△ABC中,∠CAB和∠CBA的平分线AD、BE相交于点P,且AE=BE,∠3=40°。求证:PE=PD。

图7

图8

方法1:根据角平分线,联想到作PF、PG、PH分别垂直AB、BC、AC,垂足分别为F、G、H。因为AD、BE分别平分∠CAB、∠CBA,可以得到PH=PF=PG,且∠PHE=∠PGD=90°。我们很容易得到∠PDB=∠PEH=80°,根 据“AAS”,可证明△PEH≌△PDG,从而PE=PD。

方法2:在AB上取一点F,使AE=AF。由∠1=∠2,AP=AP,根据“SAS”,得到△AEP≌△AFP,从而∠EPA=∠FPA=60°,EP=FP,从而∠FPB=∠DPB=60°,结合∠3=∠4,PB=PB,根据“ASA”,可以证明△FPB≌△DPB,故DP=FP=EP。

图9

【总结】我们从刚才几个题目不难发现,可以找第三个量作为关联量,来证明另外两个量相等。这就是数学知识的关联性。

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