课程创生案例:一个不等式的提出与多法证明*

云南省曲靖市第一中学(655000) 张国坤

云南省宣威第八中学(655499) 赵永贤

教师即课程,教师要用教材教而不是教教材,教师要理解课程、把握课程、运作课程、创生课程.在“三新”(新课标、新教材、新高考)背景下,新课标理念要求引导学生夯实四基(基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验),教师要组织引导学生进行探究性、研究性学习,组织实施发现问题、提出问题、分析问题、解决问题(四能)和运用问题结论的过程性教学,这是运作课程、创生课程的基本渠道之一.作为数学课程创生的一个案例,以下介绍一个课堂教学实践案例,对培养学生的理性思维、创新思维能够发挥“微分”与“积分”的作用,对导数的复习和应用具有良好效果.为节省篇幅,省去关于教学活动过程的陈述,直接呈现知识和方法.

1 引子:从问题情境中来

已知直线y=ax与曲线y=lnx相切,求a的值.

解答设直线y=ax与曲线y=lnx相切的切点横坐标为x0,则切线斜率lnx0=ax0(切点是公共点),联立解得x0=e,则a

图1

图2

探索如图1,在同一坐标系中作出直线y=ax与曲线y=lnx,相切时切点为T(e,1),当时直线y=ax与曲线y=lnx有两个交点,记两个交点坐标为x1,x2,则1e2,x1+x2>2e.

2.探索发现:提出问题与解决问题(课程创生)

2.1 发现与证明

发现(定理):设x1,x2是方程ax=lnx的两个实根,则x1x2>e2,x1+x2>2e.

探索发现如下五种证法:

证法一(利用定积分的几何意义):已知x1,x2是方程ax=lnx的两个实根,则ax1=lnx1,ax2=lnx2.

在图1中,设x1

即f(x1)>f(2e−x2).

2.2 回到问题情境中去(逆向编题)

方程ax=lnx,即ax−lnx=0,考虑积分,构造函数f(x)使f′(x)=ax−lnx,若构造函数f(x)=则可以编制如下:

问题已知函数f(x)=mx2+x−xlnx+n.(1)讨论函数f(x)的极值点个数;(2)设x1,x2是f(x)的两个极值点,求证:x1x2>e2.

答案(1)m≤0时f(x)有且只有一个极值点;时f(x)有两个极值点;时f(x)没有极值点.(2)证明略.

3.结论:教师要研究并创生课程

教师是人类文明的继承者、传播者,更是人类文明的实践者、发明者之一.教师即课程,教师不仅仅是课程的传播者,更是课程的研究者和创生者,只因为有了教师对课程的实践运作和研究创生,才使得课程能够有效地得到继承和传播,更使得教学课程得到不断地丰富和完善.我们数学教师只有注重课程实践、主动运作课程、研究性地使用教材、创造性地研究和创生课程,才能使数学课程的实更加生动、有趣、丰富和完善,数学教师可以成为数学课程的创造发明者.我们数学教师只有有效地研究和创生课程,才能有效地发展学生的数学核心素养,才能有效地培养学生的理性精神和创新能力.