浅谈数学教学中如何培养学生的反思能力

马列红

反思能力是指自觉地对数学的认知活动进行分析、总结、评价、反馈、控制和调节的能力。这种能力主要分为两大部分：一是认知过程中的自我监控能力，二是自我调节能力。培养学生的反思能力旨在用控制论原理剖析课堂信息交流的规律。且培养学生的反思能力可以促使他们从新的角度、多层次、多侧面地对问题及解决问题的思维过程进行全面考虑、分析与思考，从而深化对问题的理解，揭示问题的本质，探索出问题的一般规律。

一、渗透数学的审美观点，激发学生的反思意识

哲学数学家罗素曾说：“数学如果正确看待它，不但拥有真理，而且也具有至高无上的美。”数学是一门艺术，数学美也深深蕴藏在它的基本结构之中。我们在数学教学中经常向学生揭示内在美、对称美、和谐美、奇异美、简单美、统一美和类比美。

如在椭圆的定义和标准方程教学中，就应始终抓住椭圆具有的对称美的基本特征，让学生在美的追求中将其组织成为具有美学结构的公式，从而促使学生在积极思维中完成学习任务的教学过程。下面是化简过程的教学设计。

由定义得|MF1|+|MF2|=2a，

又由距离公式知[（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a]  （1）

教师：方程（1）能不能作为椭圆的方程？

（稍后）可以！追问：这个形式你满意吗？

（稍后）不满意！因为它不符合数学美的简洁性特征，有继续化简的必要。

学生：经两次平方（根据化简的常规方法）整理得：

[（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）]

[∴x2a2+y2a2-c2=1（a>c>0）]

教师：此方程虽比（1）简单多了，但是从椭圆的对称性，我们期望它的方程也应具有对称性，你能根据[a2-c2]的正负特点做出变换吗？

在教师的引导下，学生轻松地设想下列方法：

学生：设[a2-c2=b2（b>0）]，

则[∴x2a2+y2b2=1（a>b>0）]，即为椭圆的标准方程。

教师给学生及时的赞扬，最后指出引进字母纯粹是由于对美的追求，让学生体会到数学原来也是妙趣横生，充满了美的音符，从而激发学生对数学的兴趣，使学生带着一种高涨的情绪继续学习，这样反思才能成为自觉的行为。

二、建立反思小档案，养成反思习惯

人最有价值的行为和语言往往是自省和反思，而数学思维本身就是一种反思性思维，力求从最少的问题中发现最多的规律，受到最好的启发，得到最佳的学习效果。首先，教师可让学生准备一本学习记录册和错题集，要求学生做好课前预习工作，写下下节课的教学内容和预习中遇到的困难。同时要求写下学习心得、个人反思，做到对知识进行分阶段的大盘点，以求达到不断建构知识的目的。其次，要求学生把作业、练习卷、测试卷中较典型的、易混淆的题记到错题本中，而后进行两个层次的反思。第一层次：错在哪里？为什么出错？是知识性错误，还是计算等其他原因导致错误？怎样才能避免错误？另外可让学生对同一类型的错题做上标记，以便下次翻阅。第二层次反思：鼓励学生在整理错题时利用知识点层层拓展的特点，写下解此题时的心路历程，对学习行为做出自我评价，并在批判的基础上对知识进行解构与重组，以便对思维进程具有更好的调控作用。事实上，整理错题的过程又是一次深刻理解、巩固知识的学习过程。以下是摘自一位学生错题集中的题。

如椭圆[x29+y24=1]的焦点为F1 ，F2 ，点 P为其上的动点，当∠F1PF2 为钝角时点P的横坐标的取值范围是            。

错因：（1）用余弦定理cos∠F1PF2<0求解时计算错误，因为做题时心态浮躁，只求速度计算不仔细；

（2）没有想到用极限思想先求90°的情形。

对策：在平时的学习过程中改掉有了思路就不具体计算的习惯。

心得：平时要养成一题多思和一题多变的学习习惯，要学会像老师那样对题进行一些加工和引申，这样在测试时才能运筹帷幄。

变式：（1）椭圆[x29+y24=1]的焦点为F1 ，F2 ，点 P为其上的动点，当∠F1PF2 为锐角时点P的横坐标的取值范围是            。

（2）若椭圆[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的焦点为F1 ，F2 ，点 P为其上的动点，当∠F1PF2 为锐角时点P的横坐标的取值范围是    。（不会）

该学生带着疑问来寻求答案，教师应对学生提出问题给予积极评价，让学生感受到自己是一个思考者、发现者、探求者和成功者，并在课堂上以此为范例与其他学生一起探讨解决。

让反思成为学习生活中必不可少的一个重要环节，让学生真正养成反思习惯，厚积薄发，获得成功，也让学生喜欢反思，并在此基础上提高自己，真正成为学习的主人。

总之，在数学教学中培养学生的反思能力是我们数学教育工作者面临的一个新课题，如何培养学生的反思能力，是一个从理论到实践都需要认真研究的课题，需要我们在教学实践中不断探索。