（1+1） 维混合KdV 方程的Weierstrass 椭圆函数解

王 辉,关思宇,秦 路

（1.河南工程学院 理学院, 河南 郑州 451191;2.郑州市中原区教育局,河南 郑州 450007）

对非线性演化方程精确行波解的研究在非线性物理学领域中起着非常重要的作用,针对一些结构复杂且具有物理应用背景的演化方程,研究其精确解,可以使一些物理现象更合理地展现在人们面前,同时也可以使科学技术获得更大进步[1]。 目前,一些系统且成熟的方法应运而生,被应用于求解各类非线性演化方程的精确解,较常见的有反散射方法、达布变换和贝克隆变换、双线性直接导数方法、Nonlocal 对称方法、Tanh 类双曲函数法、椭圆函数法,以及更加复杂的代数几何方法等[2-8]。 不同的方法有不同的特点和适用类型,得到的孤子解也形态各异,比如Peakon 解、Loop 解、扭孤子解、钟孤子解、拟周期解等。 近年来,李德生等[9]提出了构造孤子方程Weierstrass 椭圆函数解的新方法,即广义的投影Riccati 方程展开法。 该方法对于同秩或非同秩的演化方程均适用,已大量应用于有着重要物理意义的非线性演化方程中。

（1+1） 维混合KdV 方程为

式中:a0、a1、a2≠0,β ＞0。

方程（1） 是描述非线性晶体传播方程u1+a1uux+a2u2ux+βuxxx= 0 的拓展方程,目前对其研究较少。翟子璇等[10]利用F - 展开法取特定参数,获得了孤立波解。 舒级等[11]使用G′/G扩展法,获得了该方程的Jacobi 椭圆函数解、三角函数解和有理解。 陈南等[12]使用Painlevé 截断展开法对该方程进行求解,得到了指数形式的精确解。 本研究主要借助广义的投影Riccati 方程展开法,得到新的具有双周期性的Weierstrass椭圆函数解。

1 广义投影Riccati 方程展开法

广义投影Riccati 方程指的是函数F（ξ） 、G（ξ） 满足

在文献[9] 中,F（ξ） 、G（ξ） 具有如下关系:

则方程（2） 就有如下形式的Weierstrass 椭圆函数解:

而如果F（ξ） 、G（ξ） 满足另一个新的关系:

则方程（2） 此时的Weierstrass 椭圆函数解就会变成如下形式:

其中,Weierstrass 椭圆函数满足三次方程

显然,式（5） 要比式（3） 更加复杂,但得益于Mathematica 数学软件的符号计算功能,最终得到的Weierstrass 椭圆函数解也更加丰富。

2 （1 + 1） 维混合KdV 方程的Weierstrass 椭圆函数解

在行波变换u（x,t） =u（ξ） ,ξ=kx+ct下,式（1） 约化为如下常微分方程:

式中:u′= du/dξ。

对式（8） 关于ξ积分一次,取积分常数为0,有

设u（ξ） =b0+b1F（ξ） +b2G（ξ） ,将其代入式（9） 中,并充分利用式（2） 和式（3） ,可将式（9） 转化为

由此,可以得到一个关于未知参数b0、b1、b2、k、c的代数方程组:

利用Mathematica 软件的符号计算功能,可知该方程组有如下解（pq ＜0,a2＜0） :

由此,可得方程（1） 有如下精确解:

方程（7） 的解与Jacobi 椭圆函数cn（ξ;m） 有如下关系:

式中:m为Jacobi 椭圆函数的模,;e1、e2、e3是方程4z3-g2z-g3= 0 由大到小的3 个根。

以式（14） 为例,可以写成如下形式:

由于当m→1 时,即e2→e1时,有cn（ξ;m） →sech（ξ） ,sn（ξ;m） →tanh（ξ） ,dn（ξ;m） →sech（ξ） ,因而在退化的情形下,可得方程（1） 的新孤波解:

3 结语

本研究利用Weierstrass 椭圆函数δ（ξ;g2,g3） 及其导数来对（1+1） 维混合KdV 方程进行求解。 Weierstrass 椭圆函数和它的导数具有双周期性,因此通过投影Riccati 方程展开法获得的解也具有双周期性,同时这些双周期性的解可以退化为孤波解和单周期三角函数解。 经验证,此方法对于同秩和非同秩的非线性演化方程均具有一定的适用性,但是否对所有具有孤子解的可积系统都适用仍需要进一步研究。